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1、数学形态学的基本运算一. 引言随着计算机技术的发展，图像及信号处理技术越来越为大众所需求。经典的信号处理方法主要是基于线性系统的理论、传统的信号与系统的概念及Fourier分析，并广泛地运用于不同的科学与技术领域中。然而，对于图像的形态特征和几何结构等非线性因素的分析和描述却由于系统的线性特征而受到限制。近几十年发展起来的数学形态学1从理论和方法上弥补了这一缺憾，数学形态学不仅提供了描述和分析图像几何及形状特征的多种技术和方法，同时它对于经典的信号处理技术也产生了极大的影响并扩展了原有的技术。基于数学形态学的图像处理技术是一种采用集合的概念表示图像、非线性叠加方式描述图像的非线性系统技术，称之
2、为形态系统2，它广泛地应用于生物医学和电子显微镜图像的分析以及数字图像处理和计算机视觉等领域，并已发展成为一种新型的图像处理方法和理论。用于图像处理的形态系统，具有完备的结构和理论体系，是进行非线性性态分析和描述的有力工具。二. 形态学的相关理论1.图像的表示方法如同信号处理中线性时不变系统的建立和描述基于信号的多频表示一样，形态系统的描述和分析方法的建立则是基于图像的集合表示以及相应的集合变换。用R和Z分别表示实数集合和整数集合，E=Rd或Zd(d=1、2、)分别表示连续的或离散的d维空间，则一个d维图像可表示为E上的一个函数，其取值范围为R或Z。如果函数仅取两个不同的值，则图像可用E中的集
3、合表示。如二值图像可表示为取值为1和0的函数，图像的前景可表示为，背景可表为余集，或简单地用X的特征函数来表示。对于多值（灰度）图像可以通过阀值变换1，2获得其二值图像，采用阀值的方法还可以实现对于灰值图像的集合表示。为此，若引入图像的阀集：这里幅值a取值于R或Z，取决于f(x)是模拟还是数字图像。利用阀集可重构图像。如果引入的特征函数则即给出了一个二值图像，并且有。2 基本的形态变换2.1二值腐蚀和膨胀 二值图象是指那些灰度只取两个可能值的图象，这两个灰度值通常取为0和1。习惯上认为取值1的点对应于景物中的点，取值为0的点构成背景。这类图象的集合表示是直接的。考虑所有1值点的集合(即物体)X
4、，则X与图象是一一对应的。我们感兴趣的也恰恰是X集合的性质。 如何对集合X进行分析呢?数学形态学认为，所谓分析，即是对集合进行变换以突出所需要的信息。其采用的是主观“探针”与客观物体相互作用的方法。“探针”也是一个集合，它由我们根据分析的目的来确定。术语上，这个“探针”称为结构元素。选取的结构元素大小及形状不同都会影响图象处理的结果。剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对物体集合进行变换。为此，数学形态学定义了两个最基本的运算，称为腐蚀和膨胀即1。2.1 .1二值腐蚀运算腐蚀是表示用某种“探针”(即某种形状的基元或结构元素)对一个图象进行探测，以便找出图象内部可以放下该基元
5、的区域。它是一种消除边界点，使边界向内部收缩的过程。可以用来消除小且无意义的物体。腐蚀的实现同样是基于填充结构元素的概念。利用结构元素填充的过程，取决于一个基本的欧氏空间概念平移。我们用记号A二表示一个集合A沿矢量x平移了一段距离。即:集合A被B腐蚀，表示为AB，其定义为:其中A称为输入图象，B称为结构元素。AB由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。如果将B看作模板，那么，AB则由在将模板平移的过程中，所有可以填入A内部的模板的原点组成。根据原点与结构元素的位置关系，腐蚀后的图象大概可以分为两类: (1)如果原点在结构元素的内部，则腐蚀后的图象为输入图象的子集，如图2.1所示。(2)如果原点
6、在结构元素的外部，那么，腐蚀后的图象则可能不在输入图象的内部，如图2.2所示。图2.1腐蚀类似于收缩腐蚀除了用填充形式表示外，还有一个更重要的表达形式:这里，腐蚀可以通过将输入图象平移 -b(b属于结构元素)，并计算所有平移的交集而得到。2 1.2二值膨胀运算膨胀是腐蚀运算的对偶运算，可以通过对补集的腐蚀来定义。我们以Ac表示集合A的补集，表示B关于坐标原点的反射。那么，集合A被B膨胀，表示为AB，其定义为:为了利用结构元素B膨胀集合A，可将B相对原点旋转180得到，再利用对Ac进行腐蚀。腐蚀结果的补集，便是所求的结果，如图2.3所示。 图2.3利用正方形膨胀 膨胀还可以通过相对结构元素的所有
7、点平移输入图象，然后计算并集得到，可用如下表达式描述:此方程定义的膨胀，历史上称为Minkowski和。2.1 .3腐蚀和膨胀的代数性质 膨胀满足两个最基本的运算关系，一个是交换律，另一个是结合律。即:由式(2.2)可见，腐蚀运算是不可交换的，但腐蚀运算具有结合律。 A(BC)=(AB) C=(AC) B (2.8)式(2.7)表明，当图象A用一个大的结构元素BC去腐蚀时，其结果与用B和C连续腐蚀时相同，而腐蚀结果与用结构元素B、C的腐蚀顺序无关。根据这一性质，我们可以只存储一些简单而基本的结构元素B，C等等，一旦需要时便可由他们对图象做连续腐蚀，以取代各种复杂的结构元素。腐蚀和膨胀运算具有以
8、下的性质。(l)腐蚀、膨胀和图象之并:即对U是可分配的，对U是不可分配的。(2)腐蚀、膨胀和图象之交:(3)关于腐蚀和膨胀(4)若B1，B2，Bn是一系列结构元素，则有2.1 .4 腐蚀和膨胀的滤波性质 数学形态学中的腐蚀和膨胀运算与基本的集合运算之间存在着一种代数运算对应关系，这是数学形态学一个很吸引人的性质。下面讨论与形态学滤波有关的一些性质。 (l)平移不变性 腐蚀和膨胀都具有平移不变性。对于膨胀，这意味着，首先平移图象，然后利用一个给定的结构元素对其做膨胀处理，和先用一个给定的结构元素对图象做膨胀处理，然后做平移处理所得结果是一样的，即 (A+x)B=(AB)+x (2 .22) 对于
9、腐蚀，平移不变性具有下面的形式: (A+x) B=(AB)+x (223) 在考虑平移不变性的时候，必须注意的是，平移不变性是针对平移图象，而不是针对结构元素而言的。 (2)递增性 腐蚀和膨胀都具有递增性，如果A1为A2的子集，则A1B为A2B的子集，A1B为A2B的子集。另外，腐蚀的递增性是相对结构元素及输入图象的次序，即包含关系而言的。如果A是一个固定的图象，B1是B2的一个子集，那么，B1比B2更容易填入A的内部，因而，AB1包含AB2。 (3)对偶性前面指出，膨胀是腐蚀的对偶运算。因为膨胀可以通过对图象的补集作腐蚀运算求得，腐蚀也可以通过对图象的补集作膨胀运算求得，即2.2二值开运算和
10、闭运算 在形态学图象处理中，除了腐蚀和膨胀两种基本运算外，还有两种由腐蚀和膨胀定义的运算，即开运算和闭运算3,4。这两种运算是数学形态学中最主要的运算或变换。从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式，同时提供了一种手段，使得我们可以在复杂的图象中选择有意义的子图象。2.2.1二值开运算 假定A仍为输入图象，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号AoB表示，其定义为:所以，开运算实际上是A先被B腐蚀，然后再被B膨胀的结果。开运算还可以用其它符号表示，如O(A，B)，OPEN(A，B)和AB，在本文中，我们采用O(A，B)来表示。开运算能从一个图象A中选取一个与结构元素B相匹配的子集合
11、，该子集合的性质是: 上式表示图象A对结构元素B的开运算。精确地选择集合A中的点x，当x被结构元素B或其平移B，覆盖的同时，结构元素必须整个包含在集合A内部，由此可以得出开运算是一个反延伸性质的运算。式(2 .10)也可改写为:这种写法形象地描述了开运算的特性:当结构元素B扫过整个图象A集合内部，那些使结构元素B的任何象素不超出图象A边界的图象A的象素点的集合，就是O(A，B)。开运算的这种基本的几何形状匹配性质在图象处理中是非常有用的。它可以用来分解图象，抽取图象中有意义且独立的图象元。通常的例子是用圆盘对矩形作开运算，通过2.1节对腐蚀和膨胀运算的描述，我们不难得到开运算的结果，如图2.7
12、所示。 图2.7利用圆盘开运算从图2.7我们看到，开运算具有两个显著的作用:利用圆盘可以磨光矩形内边缘;用A-O(A，B)可以得到图象的尖角，因此圆盘的圆化作用可以起到低通滤波的作用。2.2.2二值闭运算 闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀然后再作腐蚀。利用B对A作闭运算表示为AB，其定义为:闭运算还可以表示为C(A，B)，cL0sE(A，B)和AB，在本文中，我们采用C(A，B)来表示。另外，因为开闭运算互为对偶运算，还满足下面的性质:我们还可以采用以下方法来描述闭运算:该集合中包含所有这样的点x，x被一个平移的的镜象结构元素t覆盖的同时，t与A图象必有一些公共点，由此看出，初始图象A
13、包含在C(A，B)中，即闭运算是具有延伸性的运算。图2.10描述了闭运算的过程及结果。 图2.10利用圆盘闭运算显然，用闭运算对图形的外部做滤波，仅仅磨光了凸向图象内部的边角。2.2.3开、闭运算的滤波性质 经过上面的讨论，我们可以得出开闭运算的滤波性质: (l)平移不变性 O(A+x)，B)=O(A，B)+x (2.33) C(A+x)，B)=C(A，B)+x (2.34)(2)递增性 若A1A2，则 O(Al，B)O(A2，B) (2.35) C(Al，B)C(A2，B) (2 .36) (3)延伸性 开运算是是非延伸的:O(A，B)是A的子集;而闭运算是延伸的，A是C(A，B)的子集。由此可得: O(A，B)AC(A，B) (2.37) (4)幂等性 在对一个图象A用结构元素进行开运算后，若再用同一结构元素进行又一次开运算，则所得结果不变，这种性质叫做幂等性。同样，闭运算也具有幂等性。 O(A，B)，B)=O(A，B) (2 .38) C(A，B)，B)=C(A，B) (2.39) (5)对偶性 开闭运算互为对偶运算。 O(A，B)=C(AC，B)C (2.40) C(A，B)=O(AC，B)C (2.41)3. 常用形态学操作函数1、dilate函数该函数能够实现二值图像的膨胀操作，有以下形式：BW2=dilate(BW1，SE)
