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1、助教 ：毛亦琛答疑 ：周日学武楼 A1079： 00-11:00通 知 3-1 刚体的运动 3-2 刚体定轴 转动定律 3-4 刚体定轴转动的功和能 3-3 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1.刚体 在力的作用下不发生形变的物体。 刚体是实际物体的一种理想的模型 刚体可视为由无限多个 彼此间距离保持不变的质元 组成的质点系。 3-1 刚体的运动在运动过程中内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体。 完全描述运动所需的独立坐标数自由度（确定物体的位置）如：（ 1）质点的一般运动，需三个坐标描述。自由度 =3（ 2）质点的直线运动，只需一个变数。自由度 =1（ 4）对刚体，只需确定其三个点
2、，即可确定其位置。需 9个变量。但三个点的间距确定，实际上只需 6个变量。（ 3）质点系？2.刚体的运动刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点的轴线的转动2.1 平动：特点： 平动时 ， 刚体内所有质元具有相同的位移 、 速度和加速度 。运动过程中，如果连接刚体内任意两点的直线都彼此平行，则这样的运动称为 刚体的平动 。可用 质心 或其上任何一点的运动来代表整体的运动 。自由度：),(3m a x CCC zyx；i 2.2 转动：可分为两种基本形式：定轴转动、定点转动运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。定轴转动xOPr v如：门窗、电机转子等的转动i（本
3、章重点讨论定轴转动）)(1 ；定点转动运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该固定点的某一瞬时轴线转动。（如陀螺的转动等）3i（转轴方向（ 2），绕轴转角（ 1）自由度：刚体不受任何限制的任意运动，称为 刚体的一般运动 。2.3 一般运动：它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加： 随基点 O （可任选）的平动 绕通过基点 O 的瞬时轴的定点转动33 i如图示的两种运动分解：基点 (O 和 O )的选取不同，平动不同，转动也可以不同，与基点的选取有关。自由度？3.刚体定轴转动的描述定轴转动 刚体上任意点都绕同一轴在各自的平面内作圆周运动。很显然，刚体各个部分在相同时间内绕转轴转过的角度（ 角位
4、移 ）都相同。引入 角量描述 将非常方便。如：角坐标 ()、 角位移 () 等 。刚体绕 Oz 轴转动，为了反映刚体转动的方向和快慢，引入 角速度矢量 和 角加速度矢量 。xOPr vzdtd dtd 角速度和角加速度均为矢量 ， 定轴转动中其方向沿转轴的方向并满足右手螺旋定则 。xOPr vz定轴转动刚体上任意点的 都相同。 、P 点的线速度 rv P 点的加速度22rrvan rdt rddtdva t )(矢量形式：rv ra n 2ra t 线量和角量关系：1.外力矩及对转轴的力矩设第 i 个质元受外力对 O 点力矩：iFiii FRM )()( / iii FFrOO iF iiii
5、i FrFrFOO/OzFOO i 垂直 OzFr ii 垂直/ 都不可能引起刚体的定轴转动只考虑平行 Oz（ z方向）的分量：| iiiz FrM s in ii Fr iFdzd miOriFiFi|FiORi iiiz FrM s in ii Fr iFd力对参考点 O 的力矩在 Oz 轴的分量等于力垂直 Oz 轴的分量对 z 轴垂足（ 转心 ）的力矩，即称为力对转轴的力矩 。zd miOriFiFi|FiORi相对于 z轴的合外力矩 为：iizz MM即作用在各质元的外力矩的 z分量之和。对转轴力矩方向的判断：转心；力的垂直分量2刚体对转轴的角动量第 i个质元对转轴的角动量：zmiOr
6、iviORiiiii vmRL iii vmrOO )(iiiii vmrvmOO OzvmOO ii 垂直我们只对 z方向上的分量感兴趣：iiizi vmrL iii rm 2:ir第 i 个质元到转轴的距离组成刚体的所有质元对转轴的角动量之和 : iiiiiizz rmLL 2 iii rm )(2iiiz rmJ2令：称为刚体对转轴 z的 转动惯量则 刚体对转轴的角动量 :Zz JL iiizi vmrL iii rm 2:ir第 i 个质元到转轴的距离3刚体定轴转动定律 dtLdM若 Jz = 常量，则 刚体定轴转动的转动定律由于刚体只能绕 z 轴转动，引起转动的力矩只有 ,因此转动力
7、学方程zMdtdLM zz )( zJdtddtdJMzz zJ定轴转动，可以不写角标 z，JM 与牛顿第二定律作比较：amJFM J 反映了刚体转动的惯性上式简写为： 刚体定轴转动的转动定律JM 刚体转动惯量及其计算 刚体定轴转动定理的应用很明显：转动惯量与刚体的质量及其分布有关，与转轴的位置有关。4转动惯量4.1 刚体的转动惯量及计算iii rmJ2定义式：:ir第 i 个质元到转轴的距离 刚体为分立质点iii rmJ2 刚体为连续体 dmrJ 2式中;dVdm ;dSdm dLdm 或（ 1）均匀杆： dmx 2 )(222dxxll )(222 dxlmxll2121 ml如果将轴移到
8、棒的一端：dxlmxJ l02 231 mlzlxOdxdmx dmrJ 2几个常用转动惯量计算举例：（ 2）均匀圆环： dmrJ 2（ 3）均匀圆盘： dmrJ 2 )(2 dSr R r d rr0 2 )2( R drr0 32 424RJ 221 mRzRO dmzRO drr dmR 22mR4.2 平行轴定理iii rmJ2 iiii rrm )( iiii rdrdm )()(C Oz zrimi22 2 iiiiiiii rmrmddm22 iii rmmd 2mdJJ C 刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对 通过质心的平行转轴的转动惯量 JC 加上刚体质量m 乘以两平行转轴
9、间距离 d 的平方。dri平行轴定理 应用举例：挂钟摆锤的转动惯量Olm,1Rm ,2Rl JJJ 2131 lmJl 2222 )(21 RlmRmJR 4.3 对 薄平板刚体 的垂直轴定理 iiiz rmJ2 iiii yxm )(22Ozxyri yixi i iii ii ymxm 22yxz JJJ 例：已知均质圆盘Ozxy221 mRJz 求对圆盘的一条直径的 Jx(或 Jy)yxyxzJJJJJ由241 mRJJyx * 薄平板刚体成立5.转动定律的应用1 ）受力分析 2 ）列方程：F m aMJaR 3 ）解方程 解题要点 :例 3 - 1 滑轮半径为 r ，转动惯量为 J 。
10、 A 、 B 自静止开始滑动，求运动加速度大小。 mAmbABgmAAATAaBTBagmBBNf解：AAAA amTgmA :B BBB amfT0 gmN B附加方程BBAATTTT滑轮：JrTrT BA grJmmmmraBABAA 2/ BTATBA aa Nf r例 3 - 2 “打击中心”问题 细杆： m、 l，轴 O，在竖直位置静止，若在某时刻有力作用在 A 处，求轴对杆的作用力。质心加速度：通过转动定律求细杆的转动，再求质心加速度解：如图示，除力 F外，系统还受重力、轴的支反力等。但这两个力对轴的力矩 =0。只有 F对细杆的运动有影响，对转轴 O的力矩为：OCgmAFxFyF0
11、lFlM 0JM 200 3mlFlJFlJM cyx amjFiFgmF )(利用质心运动定理求支承反作用力。OCgmAFxFyF0lJM 200 3mlFlJFlJM cyx amjFiFgmF )(质心运动定律分量式：cnynctxtmamgFFmaFFF)2( lm Fll23 0)2( 2lmFllFmlmgFxy)123(202mg质心运动定律分量式：cnynctxtmamgFFmaFFF)2( lm Fll23 0)2( 2lm0 0,32)1(0 xFll讨论 由于“冲击”过程中的冲击力 F 在短时间内有相当大的数值， Fx 将很大！ “打击中心”3/20 ll 只要mg0,3
12、2)3( 0 xFll0,32)2( 0 xFllFllFmlmgFxy)123(202但 l0=2l/3 时， Fx为零！例 3 - 3 如图，质量为 m ，长为 l 的均匀细棒绕过 O点的转轴自水平位置以零角速度自由下摆。 求 （ 1 ）细棒运动到与水平夹角为 时的角加速度和角速度； （ 2 ）此时细棒末端 A 的速度和加速度。 O CO mg解： c o s23 lgdtd c os23 lg 231c os2 mllmg dlgd c os23lv 2lalantlg s in3 00 c os23 dlgd(1)角速度和角加速度(2) 末端 A的速度和加速度JM dtd c o s2
13、3lgdd As in3 gl2/c o s3 gsin3 g（切向）说明：对参考点 O或固定转轴，刚体所受重力的力矩相当于全部重力都集中于质心所产生的力矩。gmrgmrM Ciiig )(zxyCrirOCgmi im)( gmr ii )( iii gmr iii grm )(gmmrmiii iii grm )(习题 3-1：如图所示 ， 一质量为 m的均质滑轮上跨有不能伸长的轻绳 ， 绳子的两端连接着质量分别为 m1和 m2的物体 A、 B（ m1m2 ） .滑轮以恒定加速度 a0向上运动 ，求： A、 B两物体的加速度 a1、 a2的大小；（ 设滑轮可视为均质圆盘 ， 滑轮与绳子无相对滑动 ，且不计滑轮轴承及滑轮与绳子间的摩擦力 ）A B m2m1ma0R作业：习题 3-2：实验中常用落体法测定刚体的转动转动惯量：如图所示 ， 将质量为 m的物体悬挂于一条不可伸长的轻绳的一端 ， 绳的另一端绕在一半径为的定滑轮上 ，滑轮可绕水平轴转动 。 若滑轮与轴光滑接触 ， 且绳子与滑轮无相对滑动 ， 当物体从静止释放后 ， 在时间 t内下降了一段距离 S， 试求：（ 1） 滑轮的转动惯量 J；（ 2） 绳子受到的张力的大小 。习题 3
