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1、大学 试 卷学期： 2006 至 2007 学年度 第 2 学期 课程： 高等数学(II)竞赛 专业： 姓名： 完整学号： 题号14510111213141516总分得分得分一、 填空题。（每小题4分，总计16分）1设函数在点处具有二阶连续导数，且，则 。2求的导数= 。3区域D：，积分 .4设，且，则 .得分二、 单项选择题，答案填入下表。（每小题4分，总计24分）题号5678910答案5设在x0处连续，k( )（A）1 （B）1（C）2 （D）26如果函数，则( )（A） （B）（C） （D）7如果，则( )（A） （B）（C） （D）8若，则( )（A）1 （B）2y (C) 2(xy)
2、 (D) 2x9设D是由曲线及直线yx围成，则( )（A）（B） （C） （D） 110下列级数中，绝对收敛的是( )（A） （B） （C） （D）得分三、 解答题（每小题10分，总计60分）11求二元函数在由直线，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。12过曲线（x0）上某点A作一条切线，使之与曲线及x轴围成的图形的面积为，求：(1) 切点A的坐标；(2) 过切点A的切线方程；(3) 由上述图形绕x轴旋转成的旋转体体积V。13 求极限14求的和函数，并计算的和数。15. 设，而是由方程所确定的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，求。16. 设p，q是大于1的常数，且，证明：对
3、于任意x0，有。大学 试 卷 答卷一、 填空题（每小题4分，总计16分）11 2 3 4As二、单项选择题，答案填入下表。（每小题4分，总计24分）题号5678910答案DBBAAC三、解答题（每小题10分，总计60分）11(1) ，解联立方程组得驻点（4，0），（2，1）及所有横坐标x0，纵坐标满足0y6的点。易知这些驻点中，只有点（2，1）在D的内部，且A6，B4，C80 B2AC320 （2，1）为极大值点，极大值为4(2) 再求z在D的边界上的值 在边界x0，0y6上，z0 在边界y0，0x6上，z0 在边界xy6上，将y6x代入中，有令得驻点x0及x4，相应的函数值为，在区间0，6端点处有，比较这些函数值可得函数在闭区域D上的最大值为4，最小值为6412(1) 如图，设切点坐标，而，所以切线方程为令y0，得切线与x轴交点为（，0），于是S=解得 ，故A的坐标为（1，1）。(2) 将代入得切线方程为，即(3) 所求旋转体的体积为V13 14 当x0时， 当x1时，得15 用全微分法来求解。由，即解出于是 ，得，故16令 ，则，令，得驻点x1又，所以是在（0，）内唯一的极值它也是的最小值。因此，当x0时，即
