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1、绝密启用前四川省川大附中2020-2021学年高二上学期期中考试数学文试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 第I卷(共60分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)1. 已知命题p:x01,x02-10,那么p是 ( )A. x1,x2-10B. x1,x2-10C. x01,x02-10D. x01,x02-102. 若an是首项为1的等比数列,则“a8a69”是“a23”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若圆x2
2、+y2+2ax-b2=0的半径为2,则点(a,b)到原点的距离为()A. 1B. 2C. 2D. 44. 已知双曲线x2a2-y25=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A. 5B. 3C. 5D. 425. 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A. x24-y212=1B. x212-y24=1C. x23-y2=1D. x2-y23=16. 若“x12,2,使得2x2-x+10,b0)的两个焦点,若在椭圆上存在点P满足2PF1+PF2F
3、1F2,则椭圆C的离心率的取值范围是( )A. 0,55B. 0,255C. 55,1D. 255,110. 已知两点A-1,0,B0,1,点P是椭圆x216+y29=1上任意一点,则点P到直线AB的距离最大值为()A. 32B. 42C. 6D. 6211. 已知有相同两焦点F1、F2的椭圆x2m+y2=1(m1)和双曲线x2n-y2=1(n0),P是它们的一个交点,则F1PF2的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随m,n变化而变化12. 已知焦点在x轴上的双曲线x2m2-y2m2+1=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,其右支上存在一点P满足PF1P
4、F2,且PF1F2的面积为2.若双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A、B两点,O为坐标原点,且AOB的面积为2,则p=()A. 2B. 23C. 754D. 24第II卷(共90分)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上。)13. 已知直线y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则弦AB的长为_14. 已知圆的方程为x2+y2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则|AC|-|BD|的值为_15. 已知函数f(x)=x+1x,g(x)=12x-m.若x11,2,x2-1,1,使f
5、(x1)g(x2),则实数m的取值范围是_16. 已知双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0的左、右焦点分别为F1、F2,圆x2+y2=b2与双曲线在第一象限内的交点为M,若MF1=3MF2,则该双曲线的离心率为_三、解答题(本题共6小题,共70分)17. (本小题12分)命题p:xR,x2+2ax+40,命题q:x0-1,1,使得2x+a-10成立若pq为真,pq为假,求实数a的取值范围;已知r:ak,若r是q的充分不必要条件,求实数k的取值范围18. (本小题12分)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点Ax0,1在抛物线C上,且AF=3(1)求抛物线C的方程及x0的值;(2)设
6、点O为坐标原点,过抛物线C的焦点F作斜率为34的直线l交抛物线于Mx1,y1,Nx2,y2x1b0)的左,右焦点分别为F1,F2,且F1,F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形,点P(22,32)在椭圆E上,过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB,CD分别交椭圆E于A,B,C,D且M,N分别是弦AB,CD的中点(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线MN过定点R(23,0).22. (本小题10分)已知命题p:实数m满足m2-7am+12a20),命题q:实数m满足方程x2m-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,且非q是非p的充分不必要条件,求a的取值范围。数学答案1-12题 B
7、BBAD ADCDA BA13.814. 6-4215.-32,+)16.317.解:(1)对任意xR,不等式x2+2ax+40恒成立,=4a2-160,解得-2a2,即p为真命题时,-2a0成立,即a1-2x成立,a(1-2x)min=-1,即命题q为真时,a-1;pq为真,pq为假,p、q一真一假,当p真q假时,则-2a2,且a-1,即-2-1,即a2,综上所述,实数a的取值范围为(-2,-12,+)(2)若r:ak,r是q的充分不必要条件,则k-1,所以实数k的取值范围(-1,+)18.解:(1)由题意知,抛物线的准线方程为:y=-p2,根据抛物线的定义,AF=1+p2=3,所以p=4,
8、故抛物线方程为x2=8y,当y=1时,x0=22.(2)由(1)知,焦点F(0,2),故直线l的方程为y=34x+2,联立x2=8yy=34x+2,得x2-6x-16=0,解得x1=-2,x2=8所以M-2,12,N8,8.设点Q的坐标为x3,y3,则由OQ=OM+tON,得x3,y3=-2,12+t8,8=8t-2,8t+12,所以x3=8t-2y3=8t+12,又因为点Q在抛物线x2=8y上,所以8t-22=88t+12,解得t=32或t=0(舍去)故t=32.19.解:(1)圆C:x2+y2-2x+4y-4=0的圆心C(1,-2),半径r=124+16+16=3,圆心C(1,-2)到直线
9、2x-y+1=0的距离d=|2+2+1|4+1=5,弦长为:2r2-d2=29-5=4(2)假设存在斜率为1的直线l,使以l被圆C所截得的弦AB为直径的圆经过原点,设直线l的方程为:y=x+b,由x2+y2-2x+4y-4=0y=x+b,得2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-b-1,x1x2=b2+4b-42,y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2=b2+4b-42+b(-b-1)+b2=b2+2b-42,又OAOB,x1x2+y1y2=0,b2+4b-42+b2+2b-42=0,解得b=1或b=-4,
10、把b=1和b=-4分别代入式,验证判别式均大于0,故存在b=1或b=-4,存在满足条件的直线方程是:y=x-4或y=x+120.解:(1)已知两圆的圆心、半径分别为C1(,0),r1;C2(,0),r2.设动圆P的半径为r,由题意知|PC1|r,|PC2|r,则|PC1|PC2|0)(2)将直线ykx1代入双曲线方程,并整理,得(k22)x22kx20.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),依题意,直线l与双曲线的右支交于不同两点,故所以2k.且x0,y0kx01,则AB的中垂线方程为y(x)令x0,得yN.2k,yNb0)经过点P(22,32)且F1,F2与短轴
11、的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形,则b=c,a2=b2+c2=2b2,122b2+34b2=1,解得a2=2,b2=1,椭圆方程为x22+y2=1;()证明:设直线AB的方程为x=my+1,m0,则直线CD的方程为x=-1my+1,联立x=my+1x22+y2=1,消去x得,(m2+2)y2+2my-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2,x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=4m2+2,由中点坐标公式得M(2m2+2,-mm2+2),将M的坐标中的m用-1m代换,得CD的中点N(2m22m2+1,m1+2m2),kMN=3m2(m2-1),直线MN的方程为y+mm2+2=3m2(m2-1)(x-2m2+2),即为y=mm2-1(32x-1),令32x-1,可得x=23,即有y=0,则直线MN过定点R,且为R(23,0).22.解:由m2-7am+12a20),则3am4a,即命题p:3amm-10,1m32,即命题q:1m32,由非q为非p充分不必要条件,则p是q的充分不必要条件,从而有:3a14a32,13a38