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1、绝密启用前江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（是虚数单位），则的模为（）A.0B.1C.D.22.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.3.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，4.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）A.B.C.D.5.已知等比数列的前项和为，则数列的公比（）A.-1B.1C.D.26.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于，两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最
2、小值为（）A.12B.14C.16D.187.把标号为1，2，3，4的四个小球放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（）A.18种B.9种C.6种D.3种8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应，现随机抽取服用了该药品的1000人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量（分钟），这个区间上的人数为（人），易见两变量，线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为（）A.B.C.D.9.单位正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，动点，其中，设由，三点确定的平面
3、截该正方体的截面为，那么（）A.对任意点，存在点使截面为三角形B.对任意点，存在点使截面为正方形C.对任意点和，截面都为梯形D.对任意点，存在点使得截面为矩形10.设，则（）A.B.C.D.11.已知是双曲线：的左焦点，过点且倾斜角为的直线与曲线的两条渐近线依次交于，两点，若是线段的中点，且是线段的中点，则直线的斜率为（）A.B.C.D.12.函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在中，则角的大小为_.14.已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为_.15.已知各项都为正数的数列，其前
4、项和为，若，则_.16.，为单位圆（圆心为）上的点，到弦的距离为，是劣弧（包含端点）上一动点，若，则的取值范围为_.三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数，是函数的零点，且的最小值为.（1）求的值；（2）设，若，求的值.18.某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：）.（1）求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？（2）该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.附：，则，.19.如
5、图，直三棱柱中，为的中点.（1）若为上的一点，且与直线垂直，求的值；（2）在（1）的条件下，设异面直线与所成的角为，求直线与平面成角的正弦值.20.已知抛物线：，其焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，与交于点.（1）求的值；（2）若，求面积的最小值.21.已知是函数的极值点.（1）求实数的值；（2）求证：函数存在唯一的极小值点，且.（参考数据：，其中为自然对数的底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲
6、线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中，曲线与曲线关于直线对称.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线过原点且倾斜角为，设直线与曲线相交于，两点，直线与曲线相交于，两点，当变化时，求面积的最大值.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当不等式的解集为时，求实数的取值范围.江西省红色七校2020届高三第二次联考数学（理科）参考答案一、选择题1-5：CABDC6-10：DACAB11-12：DA二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.（1），的最小值为，即，.（2）由（1）知：，又，.18.（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖量为，由题意可知.
7、由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知.（2）检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都小于的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.19.证明：取中点，连接，有，因为，所以，又因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，所以，连接，设，因为为正方形，所以，又因为平面，平面，所以，又因为为的中点，所以为的中点，所以.（2）如图以为坐标原点，分别以，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，由（1）可知
8、所以，所以，所以，所以，设平面的法向量为，则，即，则的一组解为.所以，所以直线与平面成角的正弦值为.20.（1）由题意知，抛物线焦点为，准线方程为，焦点到准线的距离为2，即.（2）抛物线的方程为，即，所以，设，：，：，由于，所以，即，设直线方程为，与抛物线方程联立，得，所以，所以，即：，联立方程，得，即，点到直线的距离，所以，当时，面积取得最小值4.21.（1）因为，且是极值点，所以，所以.此时，设，则.则当时，为减函数.又，所以在时，为增函数；时，为减函数.所以为的极大值点，符合题意.（2）当时，为增函数，且，所以存在，；当时，为减函数；时，为增函数，所以函数存在唯一的极小值点.又，已知，可
9、得，所以，所以且满足.所以.其中也可以用如下方式证明：，设，则.则当时，为减函数；当时，为增函数.所以，所以在，所以.四、选做题22.（1）法一：由题可知，的直角坐标方程为.设曲线上任意一点关于直线对称点为，所以，又因为，即，所以曲线的极坐标方程为.法二：由题可知，的极坐标方程为，设曲线上一点关于的对称点为，所以，又因为，即，所以曲线的极坐标方程为.（2）直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，设，所以，解得，解得，因为，所以，当，即时，取得最大值为.23.（1）时，当时，即，；当时，即，；当时，无解，综上，的解集为.（2），当，即时，时等号成立；当，即时，时等号成立，所以的最小值为，即，或.10
