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1、绝密启用前江西省红色七校2020届高三第二次联考数学(理科)试题注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数(是虚数单位),则的模为()A.0B.1C.D.22.已知全集,集合,则()A.B.C.D.3.命题“,”的否定是()A.,B.,C.,D.,4.下列函数中,既是奇函数又在上单调递增的是()A.B.C.D.5.已知等比数列的前项和为,则数列的公比()A.-1B.1C.D.26.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于,两点,是椭圆的一个焦点,则的周长的最
2、小值为()A.12B.14C.16D.187.把标号为1,2,3,4的四个小球放入标号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子只放一个小球,则1号球不放入1号盒子的方法共有()A.18种B.9种C.6种D.3种8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应,现随机抽取服用了该药品的1000人,其服用后开始有药物反应的时间(分钟)与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量(分钟),这个区间上的人数为(人),易见两变量,线性相关,那么一定在其线性回归直线上的点为()A.B.C.D.9.单位正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示,动点,其中,设由,三点确定的平面
3、截该正方体的截面为,那么()A.对任意点,存在点使截面为三角形B.对任意点,存在点使截面为正方形C.对任意点和,截面都为梯形D.对任意点,存在点使得截面为矩形10.设,则()A.B.C.D.11.已知是双曲线:的左焦点,过点且倾斜角为的直线与曲线的两条渐近线依次交于,两点,若是线段的中点,且是线段的中点,则直线的斜率为()A.B.C.D.12.函数(,是自然对数的底数,)存在唯一的零点,则实数的取值范围为()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.在中,则角的大小为_.14.已知函数是定义域为的偶函数,且在上单调递增,则不等式的解集为_.15.已知各项都为正数的数列,其前
4、项和为,若,则_.16.,为单位圆(圆心为)上的点,到弦的距离为,是劣弧(包含端点)上一动点,若,则的取值范围为_.三、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数,是函数的零点,且的最小值为.(1)求的值;(2)设,若,求的值.18.某厂包装白糖的生产线,正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布(单位:).(1)求正常情况下,任意抽取一包白糖,质量小于的概率约为多少?(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于,检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理由.附:,则,.19.如
5、图,直三棱柱中,为的中点.(1)若为上的一点,且与直线垂直,求的值;(2)在(1)的条件下,设异面直线与所成的角为,求直线与平面成角的正弦值.20.已知抛物线:,其焦点到准线的距离为2,直线与抛物线交于,两点,过,分别作抛物线的切线,与交于点.(1)求的值;(2)若,求面积的最小值.21.已知是函数的极值点.(1)求实数的值;(2)求证:函数存在唯一的极小值点,且.(参考数据:,其中为自然对数的底数)请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.【选修4-4:坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中,直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,曲
6、线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中,曲线与曲线关于直线对称.(1)求曲线的极坐标方程;(2)若直线过原点且倾斜角为,设直线与曲线相交于,两点,直线与曲线相交于,两点,当变化时,求面积的最大值.23.【选修4-5:不等式选讲】已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)当不等式的解集为时,求实数的取值范围.江西省红色七校2020届高三第二次联考数学(理科)参考答案一、选择题1-5:CABDC6-10:DACAB11-12:DA二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.(1),的最小值为,即,.(2)由(1)知:,又,.18.(1)设正常情况下,该生产线上包装出来的白糖量为,由题意可知.
7、由于,所以根据正态分布的对称性与“原则”可知.(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都小于的概率约为,几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现异常,检测员的判断是合理的.19.证明:取中点,连接,有,因为,所以,又因为三棱柱为直三棱柱,所以平面平面,又因为平面平面,所以平面,又因为平面,所以,又因为,平面,平面,所以平面,又因为平面,所以,因为,所以,连接,设,因为为正方形,所以,又因为平面,平面,所以,又因为为的中点,所以为的中点,所以.(2)如图以为坐标原点,分别以,为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,设,由(1)可知
8、所以,所以,所以,所以,设平面的法向量为,则,即,则的一组解为.所以,所以直线与平面成角的正弦值为.20.(1)由题意知,抛物线焦点为,准线方程为,焦点到准线的距离为2,即.(2)抛物线的方程为,即,所以,设,:,:,由于,所以,即,设直线方程为,与抛物线方程联立,得,所以,所以,即:,联立方程,得,即,点到直线的距离,所以,当时,面积取得最小值4.21.(1)因为,且是极值点,所以,所以.此时,设,则.则当时,为减函数.又,所以在时,为增函数;时,为减函数.所以为的极大值点,符合题意.(2)当时,为增函数,且,所以存在,;当时,为减函数;时,为增函数,所以函数存在唯一的极小值点.又,已知,可
9、得,所以,所以且满足.所以.其中也可以用如下方式证明:,设,则.则当时,为减函数;当时,为增函数.所以,所以在,所以.四、选做题22.(1)法一:由题可知,的直角坐标方程为.设曲线上任意一点关于直线对称点为,所以,又因为,即,所以曲线的极坐标方程为.法二:由题可知,的极坐标方程为,设曲线上一点关于的对称点为,所以,又因为,即,所以曲线的极坐标方程为.(2)直线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,设,所以,解得,解得,因为,所以,当,即时,取得最大值为.23.(1)时,当时,即,;当时,即,;当时,无解,综上,的解集为.(2),当,即时,时等号成立;当,即时,时等号成立,所以的最小值为,即,或.10