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1、(1). 同時考慮可控制前置時間及貨幣時間價值因素之存貨訂購策略(2).壹.1. 吳坤山 淡江大學企業管理學系專任副教授壹.2. 顏秀鳳 淡江大學管理科學學系碩士班研究生壹.3. E-mail:yansfmail.tku.edu.tw壹.4.摘要本篇論文主要嘗試建立在同時考慮可控制前置時間與貨幣時間價值因素下，缺貨數量允許部份欠撥與部份不補(銷售損失)的混合存貨模型，其中訂購量、請購點及前置時間均為決策變數。在文中，我們假設前置時間內需求量的機率分配為未知的情形，並利用大中取小分配不拘程序(minimax distribution free procedure)求解。本文亦利用古典最佳化理論，
2、証明了本模式之總變動成本函數型態為凸函數(convex function)，進而找出使得總成本為最小之最適訂購量、請購點及前置時間。最後，以一範例來說明本研究的存貨模式演算法，並對模式中各參數作敏感度分析。關鍵字：存貨、前置時間、貨幣時間價值、大中取小分配不拘程序1.前言自從日本企業界提出及時(Just in time, JIT)存貨管理系統以來，企業的生產力提高，且效果顯著。及時存貨模式主要強調高品質、低存貨、短前置時間及少數供應商；其中縮短前置時間是及時化成功的主要關鍵1。傳統的存貨模式大都將前置時間視為已知且為不可控制的常數或隨機變數，但在許多實際的情況中，前置時間可藉由增加趕工成本(c
3、rashing cost)來縮短；換言之，前置時間是可以控制的。因此已有許多的製造商或經銷商開始對固定或隨機的前置時間產生質疑，因為他們需要的是可以控制的前置時間。近年來，已有許多學者提出將前置時間視為可控制變數的存貨模式。Liao和Shyu 2首先提出在訂購量為事前決定而前置時間為決策變數的機率性存貨模型。在此模型中，假設前置時間內的作業是由n個成份(component)所組成，每個成份各有不同的正常作業時間、充分趕工下的作業時間及單位時間趕工成本，並假設前置時間內的趕工成本函數為一分段線性函數(piecewise linear function)，在訂購量事先給定的情況下求得其最適前置時間
4、。Ben-Daya和Raouf 3採用Liao和Shyu 2的想法，增加訂購量為另一決策變數，推廣為前置時間與訂購量均為決策變數的存貨模式，並提出一新的趕工成本函數。接著，Ouyang等學者 4，Oyuang和Wu 5-7 延伸Ben-Daya和Raouf 3的模式，考慮缺貨成本，針對可控制前置時間探討缺貨數量允許部份欠撥 (backorder)部份不補 (lost sales)的混合存貨模式；其中，前置時間內的需求量則假設服從常態分配或分配不知等情況。Moon和Choi 8，Hariga和Ben-Daya 9則採用Ouyang等學者 4的想法，增加請購點為另一決策變數，推廣為前置時間、訂購量
5、與請購點三個決策變數的存貨模式。其他關於此領域方面的相關文獻請參考Lan等學者10，Ouyang和Chang 11，Pan和Hsiao 12等等。再者，早期的存貨管理中幾乎很少考慮貨幣時間價值的影響，因為大部份的模式都假設利率極低，因此將其視為與決策無關的項目。但是近年來，各國物價持續上漲而金錢購買能力則不斷下跌，使得存貨過剩，導致儲存成本的增加與資金的凍結進而阻礙企業的經營與發展。因此在存貨管理中將貨幣時間價值的影響加以考慮是有其必要性的。本文嘗試同時考慮在可控制前置時間及貨幣時間價值因素的影響下，建立缺貨數量允許部份欠撥與部份不補的混合存貨模型。其次，有關於前置時間內需求量的機率分配則考慮
6、為分配不拘的情形，由於前置時間內需求量的機率分配未知，故無法求得精確的期望缺貨量；因此，我們運用大中取小分配不拘的方法，找出具有最大期望總成本現值函數，進而求出使得期望總成本現值為最小的最適值，以謀定最佳的訂購策略。本文亦利用古典最佳化理論，証明了本模式之總變動成本函數型態為凸函數，進而找出使得總成本為最小之最適訂購量、請購點及前置時間。最後，以一範例來說明本研究的存貨模式演算法，並對模式中各參數作敏感度分析。2.符號說明與假設為了便利模型的建立，本文將採用下列的符號與假設。本論文的符號說明如下：= 每次訂購的訂購成本 = 單位時間內的需求量= 每單位時間的單位存貨持有成本 = 經濟訂購量 =
7、 週期時間長度 = 單位時間的折現率= 每單位貨品的缺貨懲罰成本= 每單位貨品的邊際利潤= 單位時間內需求量的標準差=缺貨期間缺貨數量允許欠撥的比例，則為銷售損失的比例，=前置時間內的需求量，為一隨機變數，其累積分配函數為，其平均數為，標準差為=前置時間內需求量具有相同的平均數和標準差之所有累積分配函數所形成的集合。本論文的假設如下：(1)請購點=前置時間內平均需求量+安全存量(Safety stock,；即，其中為安全因子(Safety factor)。(2)以連續盤查的方式記錄存貨水準，當存貨水準降到訂購點時，即發出訂單訂購。(3)前置時間的長度不會超過訂購週期，故在一個訂購週期之內，只能
8、發出一次訂單訂貨。(4)前置時間內的作業由個互相獨立的成份所組成。第個成份有充分趕工下的最小作業時間，正常的作業時間和單位時間的趕工成本。再者，為了方便起見，假設。在充份趕工時，優先考慮第1個成份(因為它有最小的單位時間趕工成本)，接著是第2個成份，依此類推。(5)假設令，並且定義為成份1至皆充分趕工時的前置時間長度，則的數學式為 ， 且在一個已知的前置時間下，每一個訂購週期趕工成本為 並且 (6)允許缺貨並且缺貨數量允許部分欠撥、部分不補。(7)計劃幅度是無限的。3模式的建立與推導由於前置時間內需求量的機率分配未知，故一週期內的期望缺貨數量，其中為請購點。每週期缺貨欠撥的期望數量為，而每週期
9、缺貨不補的期望數量為。故每週期的缺貨成本為。從Ouyang等學者4，Moon和Choi8，Hariga和Ben-Daya9的文中得知，請購點，而期望淨存貨在訂購量之前後分別以與。因此，一週期循環平均存貨水準為。所以第一週期之存貨持有成本的現值為：(1)式中的。接著利用Moon與Yun13所提出的現金流量折現法(discounted cash flow, DCF)法，可以得到第一週期之存貨總成本=訂購成本+趕工成本+缺貨成本+存貨持有成本；即為(2)因為計劃幅度是無限的，所以期望總成本的現值為=(3)式中。當前置時間內的需求量之機率分配型式未知時，週期末期望缺貨數量將因而無法精確的求得。然而，我
10、們可以運用大中取小分配不拘程序，對於所有的，在集合中先行找出具有最大期望總成本現值的累積分配函數；接著在此一累積分配函數下，求出使得有最小值的最適值。若以數學符號表之，我們的問題乃是在求解(4)我們注意到，從集合中找出一個累積分配函數使得問題(4)具有最大期望總成本現值，相當於從模型(3)中找出項的最大可能值；此一作業可利用下面的推理來完成。推理一：(Gallego和Moon14)對任意的，(5)並且可以找到一個累積分配函數，使得上式的等號成立。因為，且對於任何前置時間內需求量的機率分配上述不等式均可以滿足；因此利用(5)式及模型(3)，問題(4)變成求解(6)其中為的最小上界。為了求得期望總
11、成本現值的最小值，我們將(6)式分別對、做一階微分，得到下列式子：(7)(8)(9)接著，檢視二階充份條件(second order sufficient conditions)。我們發現並非是的一個凸函數。然而，對任意給定的而言，為的凹函數(concave function)，因為 (10)因此，對任意給定和值而言，最小期望總成本現值必發生在區間的端點上。另一方面，對已知的時，我們令(7)及(8)等於零，經移項整理後可得(11)式及(12)式(11)(12)理論上，在固定，我們可以利用(11)式及(12)式二個式子解出和值，這些值我們分別以符號及表示之。再者，由下面的推理可以証明：解點為滿足
12、最小化問題的二階充份條件；也就是說，對固定的，為和的凸函數(convex funciton)。因此，當固定時，點是使期望總成本現值有最小值的最適解。推理二對已知的，由期望總成本現值所推演出之海塞矩陣(Hessian Martix)為正定(Positive definite)。其証明請參閱附錄一。囿於(11)式和(12)式中，決策變數和互為函數關係，其個別的明確解無法一一求出，因此我們建立下列的演算法以幫助求算訂購週期(訂購量)、安全因子(請購點)與前置時間之最適值。演算法一步驟1：對每一個前置時間,，接著執行(i)-(iii)步驟。設定起始值，代入(11)式解出。再將代入(12)式解出。重覆(
13、i)及(ii)步驟，直到及收歛時為止，並以表示此收斂值。步驟2：對每一組數值，利用(6)式計算其對應的總成本現值。步驟3：找出最小的期望總成本現值。其所對的值，記作，即為此模型的最適解。一旦及求出，最適的訂購量可由及求得。例題一：為了說明上述的求解過程，我們沿用學者Ouyang等學者(1996)之如下數值資料：=600 件/年，=$200 每次訂購，=$20/件/年，=$50 /件，=$150 /件，=7 件/週；且前置時間內的作業由三個成份所組成，每一個成份的正常作業時間、充分趕工下的作業時間和每單位時間的趕工成本如表1所示，此外我們假設。表1 前置時間內各成份的相關資料前置時間組成成份正常
14、的作業時間(天)充分趕工下的作業時間(天)單位時間的趕工成本($/天)12060.422061.231695.0在本例中，我們討論缺貨數量允許欠撥的比例分別為0、0.5、0.8及1四種情況，運用演算法一的求解程序可以得到表2之結果。由表2，在固定值下，藉由比較各前置時間所對應的期望總成本現值，我們即可獲悉此模型的最適訂購策略，其結果彙整於表3。表2 最適解的求解過程(前置時間的單位為”週”)0800.29862.8247890.4065.60.28552.8944956.81422.40.27332.9641774.90357.40.27472.9540788.08*0.5800.27672.2642748.9165.60.26572.3140420.11422.40.25732.3538006.48357.40.26122.3337539.35*0.8800.25901.7938686.3265.60.25081.8336847.43422.40.24531.8535053.42357.40.25121.8235003.75*1800.24471.3635118.6665.60.23861.38
