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1、2021年高考数学模拟测试卷（八）第卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】求出集合，然后利用交集的定义可求出集合.【详解】，因此，.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2若,则( )ABCD【答案】D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是，因此三者可化为的形式，该函数为上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：，令，则在上是单调增函数.又，所以即.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数
2、本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.3设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为ABCD【答案】B【解析】令，则由得，所以，故正确；当时，因为，而知，故不正确；当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4如图，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈尺）
3、，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A2.55尺B4.55尺C5.55尺D6.55尺【答案】B【解析】【分析】将问题三角形问题，设出另一直角边，则可求出斜边的长，最后利用勾股定理可求出另一直角边.【详解】已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为尺，则斜边为尺，由勾股定理可得：，可得尺.故选：B【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.5函数在区间附近的图象大致形状是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论.【详解】过点，可排除选项A，D.又，排除C.故选:B【
4、点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.6在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案.【详解】设两门至少有一门被选中，则两门都没有选中，包含1个基本事件，则，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，
5、着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7若向量满足，且，则向量的夹角为（ ）A30B60C120D150【答案】B【解析】【分析】由,平方求出,代入向量夹角公式,求出的夹角余弦值,即可得结果.【详解】设的夹角为故选:B【点睛】本题考查向量的模长和向量的夹角计算,着重考查计算能力,属于基础题.8大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12
6、，18，24，32，40，50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A是偶数?，?B是奇数?，?C是偶数?， ?D是奇数?，?【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以，奇数项是序号平方减再除以，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图， 结束，所以第二个框应该填，故选D.9以分别表示等差数列的前项和，若，则的值为A7BCD【答案】B【解析】【分析】根据等差数列前n项和的性质，当n为奇数时，即可把转化为求解.【详解】因为数列是等差数列，所以，故,选B.【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和的性质，属于中档题.10已知椭圆的焦点为，过
7、的直线与交于两点若，则的方程为（ ）.ABCD【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得，可得椭圆的方程【详解】解：，又，又，在轴上在中，在中，由余弦定理可得，根据，可得，解得，所以椭圆的方程为：故选：【点睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题11设函数若关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为A(22，B(22，22)C(，)D(22，)【答案】A【解析】【分析】画出的图像，利用图像，利用换元法，将方程恰好有六个不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】画出的图像如下图所
8、示，令，则方程转化为，由图可知，要使关于的将方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同的实数根，所以，解得.故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数根于判别式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12过球表面上一点引三条长度相等的弦、，且、两两夹角都为，若，则该球的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据题意可分析四面体是正四面体，各条棱长均为，依据正四面体外接球半径的求法即可得解.【详解】由题：在四面体中，所以均为等边三角形，且边长均为，所以四面体是正四面体，棱长为，如图：根据正四面体特征，点在底面正投影是底面正三角形的中心，外接球球心在线段上，设
9、外接球半径为，取中点过点的截面圆的半径，在中，则球心到截面的距离在中，解得，所以球的体积.故选：A【点睛】此题考查求正四面体外接球的体积，通过几何体的特征，确定一个截面，寻找球心，根据三角形关系求出半径即可求解，平常的学习中有必要积累常见几何体外接球半径的求法.第卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。13曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，然后利用点斜式可写出所求切线的方程.【详解】依题意得，因此曲线在处的切线的斜率等于，所以函数在点处的切线方程为.故答案为：【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数
10、的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题14记Sn为等比数列an的前n项和.若，则S4=_【答案】.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】详解：设等比数列的公比为，由已知，即解得，所以【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算，避免繁分式计算15甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各
11、掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把乘以2后再减去12,；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把除以2后再加上12，这样就得到一个新的实数，对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜，若甲获胜的概率为，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，解出a1的结果【详解】a3的结果有四种，每一个结果出现的概率都是，1a12a1122（2a112）124a136a3，2a12a11212a1+6a3，3a112+1218a3，4a1122（12）12a1
12、+12a3，a1+18a1，a1+36a1，要使甲获胜的概率为，即a3a1的概率为，4a136a1，18a1，或4a136a1，18a1，解得a112或a124故选：D【点睛】本题考查新定义问题，考查概率综合，意在考查学生的读题审题能力，考查转化能力，是中档题16已知双曲线：的左右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，作出图形，结合双曲线第一定义，再将所有边长关系转化到直角三角形中，化简求值即可【详解】如图，由题可知，则，又，又，作，可得，则在，即，又，化简可得，同除以，得解得双曲线的离心率为【点睛】本题考查了
13、利用双曲线的基本性质求解离心率的问题，利用双曲线的第一定义和中位线定理将所有边长关系转化到直角三角形中是解题关键，一般遇到此类题型，还是建议结合图形来进行求解，更直观更具体三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17如图所示，在中，的对边分别为a，b，c，已知，.（1）求b和；（2）如图，设D为AC边上一点，求的面积.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到的值，再利用余弦定理，求出，根据正弦定理，求出；（2）根据正弦定理得到，即，根据勾股定理得到，根据三角形面积公式，求出的面积.【详解】（1）因为，所以在中，由正弦定理，得，因为，所以，所以，又，所以，由余弦定理得，所以，在中，由正弦定理，所以；（2）在中，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，而所以，由，设，所以，所以，所以，因为，所以.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.18如图，三棱锥D-ABC中，E，F分别为DB，AB的中点，且.（1）求证：平面平面ABC；（2）求二面角D-CE-F的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】【分析】（1）取的中点，可得，从而得到平面，得到，由
