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1、直线和圆的位置关系教学目的知 识目标1.掌握直线与圆相交、相切、相离三种位置关系，并会求圆的切线方程及与弦长等有关直线与圆的问题。2.在解决直线与圆的位置关系的问题时,常通过”数” 与”形”的结合,充分利用圆心的几何性质、简化运算.如利用圆心到直线的距离讨论直线与圆的位置关系,利用过切点的半径、弦心距及半径构成的三角形去解决与弦长有关的问题.能力目标 培养数形结合的思想、多方位多渠道解决问题能力。教学重点与难点重点：三种位置关系的判断方法、过一点的圆的切线的求法以及弦长问题的解决方法，即圆心到直线的距离在圆与直线关系问题中的运用。难点：利用数形结合的思想分析问题、解决问题。教学过程:一、 课堂
2、引入：前面我们复习了圆的方程、点与圆的位置关系，这课我们复习用圆的方程来解决直线与圆的位置关系。请先做以下练习（教师巡堂以便了解课下预习情况）(1)、判断直线 4x-3y=5 与圆 x +y =25 的位置关系(2)、求 圆 x +y =25 的过点 P(3,4)的切线方程.(3)、求 圆 x +y =25 的过点 P(5,4)的切线方程.(4)、求 圆 x +y =25 被直线 4x-3y-20=0 所截得的弦长。（这一部分在引入正课后直接用多媒体投影给出，并由学生快速运算，然后提问结果）二、 知识梳理:提出问题:直线与圆有几种位置关系,用什么方法来判断?1 .直线和圆位置关系的判定方法一是
3、方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式 来讨论位置关系.0，直线和圆相交.=0，直 线和圆相切.0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较.d R，直线和圆相交.d=R，直线和圆相切.d R，直线和圆相离.2. 直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率 k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.先判断点与圆的位置关系，再用切线的性质求方程。1）若点 p（x ，y ）在圆上， 则圆 x +y =r ：的切线方程为 xx +y y = r ,圆(x-
4、a) +(y-b) =r 的切线方程为（x-a）（x-a ）+（y-b）（y -b）= r2）若点 p（x0，y0）在圆外：利用圆心到直线的距离等于半径将切线的斜率求出来，再写出切线的方程（斜率不存在的切线方程不要遗漏）.3. 直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.(师生一起 归纳,并由教师板书)三、例题解析:例 1.(1).设 m0，则直线 （x+y）+1+m=0 与圆 x2+y2=m(m0)的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为 d= ，圆半径为 .dr= = （m2 +1）= （ 1）20，直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：
5、C(2).圆 x2 y24x+4y+6=0 截直线 xy5=0 所得的弦长等于A. B. C.1 D.5解析：圆心到直线的距离为 ，半径为 ，弦长为 2 = .答案：A(进一步 说明圆心到直线的距离在直线与圆的关系问题中的重要地位)例 2.已知圆满足截.y 轴所得的弦长为 2;被 x 轴分两段弧,其弧长之比为此 3:1;圆心到直线:x-2y=0 的距离为 .求该圆的方程.解:设圆的方程为: （xa ）2（yb）2r 则由条件得 =r (1)又由 得 a +1=r (2)又由 得 (3)联立(1(2)(3),解方程组 得 a=-1,b=-1,r= 或 a=1,b=1,r=所求圆的方程为: （x+
6、1）2（y+1 ）22 或（x-1）2（y-1 ）22(这是早几年的一道高考题,在高考复习中经常作为典型例题来用,我的学生对第(2)问的把握可能会有困难,因此,这一问要结合图形来分析解决.由于学生对解含有绝对值的方程组有畏难情绪,因此,教师板书解题的整个过程,并且鼓励学生面对这类问题时积极应对,常规方法入手,运算要快而准确)例 3 已知圆 C：（x1）2（y2）225，直线 l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0 （mR）（1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得(先由学生思
7、考,提出他们的解答方案,再由老师补充:由含有一个参数的直线方程入手思考)（1）证明：l 的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.得mR，2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即 l 恒过定点 A（3，1）.圆心 C（1，2），AC 5（半径），点 A 在圆 C 内，从而直 线 l 恒与圆 C 相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由 kAC ，l 的方程为 2xy5=0.思悟小结1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线 与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2.解决直线与圆的位置关系的有
8、关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化【例 4】 已知圆的方程为 x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为 A（1，2），要使过定点 A（1，2）作圆的切线有两条，求 a 的取值范围.解：将圆的方程配方得（x+ ）2+（y+1）2= ，圆 心 C 的坐标为（ ，1），半径 r= ，条件是 43a2 0， 过点 A（1，2）所作圆的切线有两条，则点 A必在圆外，即 .化简得 a2+a+90.由43a20，a2+a+90，解之得 a ，aR. a .故 a 的取值 范围是（ ， ）(确定参数的解析几何问题是学生最薄弱的环节,此题的选择一方面是巩固本节课的内容,另一方面也是对直线与圆锥曲
9、线问题中难点的一个分散处理)四课堂小练1.若圆（x3）2（y+5）2r2 上有且只有两个点到直 线4x3y=2 的距离等于 1，则半径 r 的范围是 ( )A.（4，6） B.4，6） C.（4，6 D.4，6解析：数形结合法解.答案：A2.（2003 年春季北京）已知直线 ax+by+c=0（abc0）与圆 x2+y2=1相切，则三条 边长分别为a、b、c的三角形A.是锐角三角形 B.是直角三角形C.是 钝 角三角形 D.不存在解析：由题意得 =1，即 c2=a2+b2，由a、b、c 构成的三角形为直角三角形.答案：B3.（2005 年春季北京，11）若圆 x2+y2+mx =0 与直线 y
10、=1 相切，且其圆 心在 y 轴的左侧，则 m 的值为_.解析：圆方程配方得（x+ ）2+y2= ，圆心为（ ，0）.由条件知 0.又圆与直线 y=1 相切， 则 0（1）= ，即 m2=3，m= .答案：4.（2004 年福建，13）直线 x+2y=0 被曲线 x2+y26x2y15=0所截得的弦长等于_.解析：由 x2+y26x2y15=0 ，得（x3）2+ （y1）2=25.知圆心为（3，1）， r=5.由点（3，1）到直线 x+2y=0 的距离 d= = .可得 弦长为 2 ，弦长为 4 .答案：45.自点 A（3，3）发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在的直
11、线与圆 x2y24x4y70 相切，求光线 l 所在直线的方程.解：圆（x2）2（y2）21 关于 x 轴的对称方程是（x2）2（y2）21.设 l 方程为 y3k（x3），由于对称圆心（2，2）到 l 距离为圆的半径 1，从而可得 k1 ，k2 故所求 l 的方程是3x4y30 或 4x3y30.6.已知 M（x0，y0）是圆 x2+y2=r2（r0）内异于 圆心的一点，则直线 x0x+y0y=r2 与此圆有何种位置关系?分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心 O（0，0）到直线 x0x+y0y=r2 的距离为 d= .P（x0，y0）在圆内， r，故直 线和圆 相离.(课堂 练
12、习由多媒体投影给出,学生练完后,打出正确答案和解答过程)五课堂小结1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.六课后作业8.（文）求经过点 A（2，4），且与直线 l：x+3y26=0 相切于（8，6）的圆 的方程.9.已知点 P 到两个定点 M（1， 0）、N（1，0）距离的比为 ，点 N到直线 PM 的距离为 1，
13、求直 线 PN 的方程.10.若直线 y=x+k 与曲线 x= 恰有一个公共点,求 k 的取值范围直线与圆的位置关系 二.例题解析一.知识梳理:例 1 例 4 1. 直线和圆位置关系:例 2圆(x-a) +(y-b) =r ,直线:Ax+By+C=0方法一:方法二:d=| |d R，直线和圆相交. 例 3 d=R，直线和圆相切.d R，直线和圆相离. 2. 直线和圆相切3. 直线和圆相交小结: 二. 方法小结七板书设计教学设计说明1. 教材分析:这一章是解析几何的基础部分,其内容及方法在各类试题中均要涉及,是必须要牢牢掌握的.试题可能以各种形式出现.多以选择题形式出现,有时也有解答题.即考查基
14、础知识的应用能力又考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力.利用方程解决直线和圆的位置关系问题是解析几何的重点,也是直线与圆锥曲线关系的前奏,学好这一部分知识为后面的复习奠定基础扫清障碍.作为复习课,是要在学生原有的基础上,通过对直线与圆位置知识的系统化,使学生对基础知识基本技能的掌握提高一步.所以知识点归纳是本节课的一个重要环节.2. 我所任教的班级是政治普通班,班里基本没有数学尖子生,班级平均分在多次模拟 考试中以 70 到 80 分居多,相当一部分学生数学基础薄弱,缺乏对数学学习的信心和科学的学习方法.概括转化分析归纳等方面的能力比较欠缺,但是值得一提的学习优势是笔记认真,习惯记忆,针对这种特点,我在课前让学生阅读教材, 自己归纳知识点,一方面加快上课节奏上课,另一方面通过比较使他们对知识的掌握更加系统.文科学生的抽象思维能力较为欠缺,运算速度较慢, 处理运算的方法也较为死板,课堂上也应该注重这方面的教学,并且要常抓不懈.因此,课堂上安排了例题的板书过程.另外,在选择例题时多以中档题为主,练习则注重基础知识的巩固提高以及题型的变化.3. 课堂教学过程中注意引导学生积极思维,鼓励学
