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1、直线与平面的关系及其应用8.6.1 两平面之间的关系设两个平面的法向量为 n1 和 n2，=（n1，n2 ），我们把=min ， -称为两个平面的夹角。假设两个平面为为 1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2X+B2Y+C2Z+D2=0. 它们的法向量分别为 n1=A1 ，B1，C1 ，n2= A2，B2，C2.个平面的夹角为 ，根据规定，0 /2，且cos=cos （n1，n2 ）=(记两 n1.n2)/(n1.n2)=(A1A2+B1B2+C1C2)/( . ).1.1.CBA2.2CBA平面 1,2 相互垂直的充分必要条件是 n1n2，即 A1A2+B1B2+C1C2=0.平面
2、1,2 相互平行的充分必要条件是 n1n2，即A1/A2=B1/B2=C1/C2.8.6.2 两直线之间的关系设 s1， s2 分别是直线 L1，L2 的方向向量，=(s1s2)。我们称=min，- 为直线 L1，L2 的夹角。假设两直线方程为 L1：(x-x1)/m1=（y-y1）/n1=（z-z1）/p1，L2：(x-x2)/m2=（y-y2）/n2=（z-z2）/p2.它们分别过p1（x1，y1，z1） ，p2（x2，y2，z2） ；方向向量分别为s1=m1，n1，p1，s2=m2，n2，p2，记两直线的夹角为 ，则cos=cos（s1，s2）=（s1.s2）/（s1.s2）=(m1m2
3、+n1n2+p1p2)/( . )1.1.pnm22pnmL1.L2 相互垂直的充分必要条件是 s1s2，即 m1m2+n1n2+p1p2=0.L1，L2 相互平行的充分必要条件是 s1s2,即 m1/m2=n1/n2=p1/p2.直线 L1，L2 共面的充分必要条件为 s1，s2，p1p2 的混合积（s1s2 ） .p1p2 向量=08.6.3 应用1。一平面通过两点 m1（1,1,1）和 m2（0,1， ，-1）且垂直与平面x+y+z=0,求他的方程。解：设 n=A,B,C为所求平面的法向量。因 m1m2=-1，0,2在所求平面上，所以-A-2C=0.又所求平面垂直于也只平面，所以 A+B
4、+C=0.所以 A=-2C,B=C.由点法式方程知，所求方程为-2C(x-1)+C(y-1)+C（z-1）=0所以 2x-y-z=02.求通过点 m0（1,5，-1）且与直线 L0:(X-5)=(y+1）/-1=z/2 垂直相交的直线方程。作一个过 m0 且垂直于 L0 的平面：（x-1）-（y-5 ）+2（z+1）=0，X-y+2z+6=0再求 L0 与该平面的交点，把 L0 写成参数方程 x=5+t，y=-1-t ，z=2t所以平面的方程（5+t）-(-1-t)+4t+6=0得 t=-2，交点 m1（3,1，-4）.写过 m0（1,5，-1） ，m1（3,1，-4）的直线方程（X-1）/（3-1）=（y-5）/（1-5）=（z+1）/（-4+1） ，即 （X-1）/2=(y-5）/-4=（z+1）-3.
