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1、专题测试立体几何与空间向量近年来，高考中立体几何的命题形式比较稳定：两道客观题，一道解答题. 题目难易适中，解答题常常以棱柱、棱锥和正方体为载体，考查体，考查线、面的位置关系和有关角与距离的计算. 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更具灵活性. 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找出所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用几量怎样来表达是问题的关键. 立体几何的计算和证明常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、
2、线面所成角，面面所成角等. 这里主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的试题不多.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1（理）空间四边形OABC. 其对角线为OB、AC、M、N分别为对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基向量表示向量=，则x，y，z的值分别为（ ）A BC D（文）已知ABC所在平面内的一点P，满足：AP的中点为Q，BQ的中点为R，GR的中点P. 设，用a，b表示向量=（ ）A B C D2有以下命题：如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b关系是不共线；O，A
3、，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a+b，a-b，c也是空间的一个基底，其中正确的命题是（ ）A B C D3在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若点P为BCD的重心，则D1P与平面ADD1A1所成的角的大小为（ ）A B C D4（理）已知正四面体OABC，E、F分别为AB、OC的中点，则OE与BF所成角的余弦值为（ ）A B C D（文）若O为原点，对一切R，向量，）的长度的最大值为（ ）A B1 C D5P为四面体SABC的侧面SBC内一点，若动点P到底面ABC的距离与P到S的距离相等，则动点
4、P的轨迹是侧面SBC内的（ ）A椭圆的一部分 B椭圆或双曲线的一部分C双曲线或抛物线的一部分 D抛物线或椭圆的一部分6如图，设P、Q为ABC内的两点，且，则ABP的面积与ABQ的面积之比为（ ）A BC D7已知ABCDA1B1C1D1为长方体，对角线AC1与平面A1BD相交于点G，则G是A1BD的（ ）A重心 B垂心 C内心 D外心8ABCDA1B1C1D1是正方体，点P在线段A1C1上运动，异面直线BP与AD1所成的角为，则的取值范围是（ ）A B C D9已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为（ ）A2 B1 C D10直三棱柱ABC
5、A1B1C1中，AC1与B1C在侧面ABB1A1上的射影长相等，则ABC一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形11如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”. 在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是A48 B18 C24 D3612对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：与直线a异面；与直线a所成的角为定值；与直线a的距离为定值d.那么这样的直线b有（ ）A1条 B2条 C3条 D无数条二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.13已知空间三点A（1
6、，1，1）、B（-1，0，4）、C（2，-2，3），则与的夹角的大小是 .14三棱锥中，已知两相对棱长分别为16和18，其余四条棱长都是17，则此三棱锥的体积是 .15在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B、D间的距离为 .16（理）设有四个条件：平面与平面、所成的锐二面角相等；直线ab，a平面、b平面；a，b是异面直线，且，；平面内距离为d的两条平行直线在平面内的射影仍为两条距离为d的平行直线；其中能推出的条件有 .（文）有如下四个命题：平面和平面垂直的充要条件是平面内至少有一条直线与平面垂直；平面和平面平行的一个必要不充分条件
7、是内有无数条直线与平面平行；直线a与平面平行的一个充分不必要条件是平面内有一条直线与直线a平行；两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件.其中正确的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形. ，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC底面ABCD.（1）PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论. （2）求二面角PBDC的大小.（3）求证：平面PAD平面PAB.18（本小题满分12分）已知直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形，E、F分别是棱CC与BB
8、上的点，且EC=BC=2FB=2.（1）求证：平面AEF平面AACC；（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角的大小.19（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB，PB的中点.（1）求证：EFCD；（2）在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论.（3）（只理科做）求DB与平面DEF所成角的大小.20（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，底面ABC是等腰直角三角形，且，AC=2，D是AA1的中点.（1）求异面直线AB和C1D所成的角；（2）设E是AB上一点，试确定E的位置
9、，使得A1EC1D.（3）（只理科做）在（2）的条件下，求点D到平面B1C1E1的距离.21（本小题满分12分）如图（甲）所示为一几何体的展开图.（1）沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画图；（2）需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体？请你在图（乙）中棱长为6cm的正方体ABCDA1B1C1D1中指出这几个几何体的名称.（3）如图（丙）所示，设棱长为6cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E，试求：（文）异面直线EB与AB1所成角的大小；（理）平面AB1E与平面ABC所成二面角（锐角）的大小.22（本小题满分12分）已知：如图，一个等腰直
10、角三角形的硬纸片ABC中，AC=4cm，CD是斜边上的高，沿CD把ABC折成直二面角.（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角ACDB是直二面角？证明你的结论；（2）试在三棱锥的面ABC上确定一点P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，试证明你的结论.（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值.参考答案1（理）B （文）D 2C 对于“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么，a，b的关系一定共线”，所以错误；对于，由于）O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，故向量共面，点O，A，B，C一定共面；对于，向量
11、a，b，c是空间的一个基底，故向量a，b，c不共面，从而可以判断向量a+b，a-b，c也不共面，向量a+b，a-b，c是空间的一个基底.3A 作PQAD，连结D1Q，则PD1Q就是D1P与平面ADD1A1所成的角，在RtPD1Q中，4（理）A 如图，设正四面体OABC中的棱长为1，=a，=b，=c，则，（a+b），c-b，（a+b）（c-b）=（ac+bc-ab-|b|2）=()=故OE与BF所成角的余弦值为（文）C 设点P的坐标为（x，y），则有，可得点P的轨迹方程为圆问题表达的意思是圆上的点到原点距离的最大值，显然结果为5D 当侧面SBC底面ABC时，过点P作PHBC于H，点P到底面ABC
12、的距离即PH，则|PH|=|PS|，在同一平面内一动点到一定点距离等于它到一定直线距离的轨迹为抛物线，故P点轨迹为抛物线在SBC内的一部分.当侧面SBC不垂直于底面ABC时，设H为点P在底面ABC内射影，过点P作PGBC于G，设二面角为，连结PH、HG、PG，则PGH=为定值，在RtPHG中，|PG|PH|，依题意知|PH|=|PS|. 且|PG|=|PH|/sin（定值）|PG|PS|即在平面内，一动点到一定点的距离与它到一定直线距离的比为一定值e，且0e1的轨迹为椭圆，故点P的轨迹为椭圆在SBC内的一部分.6B 如图，设，则. 由平行四边形法则知NPAB，所以，同理可得. 故，即选B.第6题解题图
