平稳时间序列的ARMA模型

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1、1第五讲（续）平稳时间序列的ARMA模型21 平稳性有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。其统计规律不会随着时间的推移发生变化。平稳的定义分为严平稳和宽平稳。定义 1（严平稳）设 是一个随机过程, 是在不同的时刻 的随机变,txTtxt量，在不同的时刻 是不同的随机变量，任取 个值 和t n1,nt3任意的实数 ，则 分布函数满足关系式 h1,nx 1(;)(,;,)nnFtxth 则称 为严平稳过程。,txT在实际中，这几乎是不可能的。由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相

2、等。定义 2（宽平稳）若随机变量 的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）,txT存在，且满足：4（1）任取 ，有 ；tT()tExc（2）任取 ， ，有 ()()()EXtataR协方差是时间间隔的函数。则称 为宽平稳过程，,txT其中 为协方差函数。()R2 各种随机时间序列的表现形式5白噪声过程（white noise，如图 1） 。属于平稳过程。 yt = ut, ut IID(0, 2)-3-2-1012310214061802024602830white noise图 1 白噪声序列（ 2=1） 6随机游走过程（random walk，如图 11） 。属于非平稳过程。y t = yt-1

3、 + ut, ut IID(0, 2)-10-50510204060801012014016018020y=(-1)+u7图 2 随机游走序列（ 2=1）-2-1012202402602803032034036038040DJPY8图 3 日元兑美元差分序列1201401601802020501015020250309图 4 深圳股票综合指数204060801044505050606507075080 10图 5 随机趋势非平稳序列（ = 0.1）-80-60-40-200201020304050607080图 6 随机趋势非平稳序列（ = -0.1）117.07.58.08.59.09.51

4、0.560657075808590Ln(Icome)图 7 对数的中国国民收入序列1246810121450560657075808590950Y图 8 中国人口序列133 延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记 B 为延迟算子，有 。,1pttxB特别 是差分算子。1)（4ARMA(p,q)模型及其平稳性和可逆性4.1 模型类型及其表示在平稳时间序列的分析中，应用最广泛的是有限参数模14型。p 阶自回归模型：用自己的过去和现在的随机干扰表 。tX是白噪声。12tttpttXXa tq 阶移动平均模型：用现在和过去的随机

5、干扰表 。tX12ttttqtaap 阶自回归和 q 阶移动平均模型：自己的过去及过去和现在的随机干扰表 。tX1512tttptXX 12tttqtaa其中 是白噪声序列。ta4.2 平稳性是平稳时间序列的反映12tttptta吗？如果它是平稳时间序列的模型，回归系数应该满足何种条件呢？例 设 是一阶自回归模型，即 或tX1tttXa，其中()ttBa1()B16则 （利用等比级数的通项和公式）1()t tXaB= 0jt= 1jta如果 ， ， 的系数随着 的增加而|10jttXtjaj趋于无穷大，这显然违背了“远小近大 ”的原则，由此可见，平稳的充分必要条件是 ， 的充分必要条件方程1|

6、1|17的根在单位圆外。10z设 是一个 p 阶自回归模型tx tpttttt aXXX 321或 ()ttBa其中： 。231() pBB平稳的充分必要条件是：tx的根在单位圆外；231 0p的根在单位圆内 1。3pp184.3 可逆性我们可以考虑到一个时间序列 是否可以用它的现在值tX和过去值来表示现在时刻的随机干扰 呢？即ta()ttaBI这种表达式称为“逆转形式 ”。如果一个时间序列具有逆转形式，也就是说逆转形式存在且平稳，通常称该过程具有可逆性。tX1证明请参看附录 1。19例 设 是一阶滑动平均模型，即 或tX 1tttXa，其中()ttBa1()B则 （利用等比级数的通项和公式）

7、1t t= 0jtX= 1jt对于一阶滑动平均模型 ，无论 取何值，1ttta1是一个名副其实的平稳序列，但是对于1tttXa20的“逆转形式” 是否存在，则取决于 是否小1tttXa |1于 1。如果 ，|1jtttXa的系数随着 的增加而趋于无穷大，这显然违背了“远小tjXj近大”的原则，由此可见， 的逆转形式存在的1ttta充分必要条件为 ， 的充分必要条件方程1|1|的根在单位圆外。10z可逆的充分必12()ttttqttXaaBa21要条件为，方程 的根在单位21() 0qzzz圆外。 的根在单位圆内 2。120qqq由于自回归模型稍微变形，123ttttpttXXa就是用系统的现在

8、和过去值表示随机干扰项，所以自回归模型自然可逆。4.4 ARMA（p，q）的平稳性和可逆性2证明参看附录 2。22设时间序列 是 ARMA（p,q）模型tX12tttptXtttqtaa令 21() pBB2q则模型记为 ()tX()ta如果 1. ， ； 0pq2. 和 无公共因子；()B233. 和 的根在单位圆外。()0z()z则 是自回归移动平均模型，平稳且可逆。它有传递形tX式 ，由此可以认为，任何一个自回归滑动平均()ttBa模型都可以用一个足够高阶的滑动平均模型逼近。逆转形式，可见任何一个自回归滑动平均模型都可以用()ttaX一个足够高阶的自回归模型逼近。5 平稳时间序列的统计特

9、征245.1 总体的自相关函数和样本的自相关函数（看参考教材 王燕，应用时间序列分析，中国人大出版社，2005）一、 AR(p)模型的自相关函数AR(p)模型，自相关函数快速收敛于零，但不等于零,“拖尾” 。又因为 ARMA（p，q）模型 的可()()ttBx逆性，即 ，所以任何一个 ARMA（p，q）模型()ttBx都可以表示为一个足够高阶的 AR（p ）模型，所以ARMA（ p，q）模型与 AR（p）模型有相同的统计特性。25下面从可以从图 18 到图 25 观察时间序列图与其自相关函数图的特点。-3-2-10123204060801012014016018020E26图 9 白噪声序列的

10、自相关函数 27图 10 白噪声序列的自相关函数图-4-2024204060801012014016018020Z28图 11 人工模拟序列 图tt-1t-2tX=0.65+.3a29图 12 人工模拟序列 的自相关函数图tt-1t-2tX=0.65+.3a-50510152025204060801012014016018020Z30图 13 模拟随机游走序列 图tttax131图 14 模拟随机游走序列 的自相关关函数图tttax1二、MA（q）的自相关函数结论：MA（q）模型的自相关函数 q 阶截尾，即在 q+1及以后为零。图 2-7 是模拟一阶移动平均模型趋势图，图 2-8 是 自相关函

11、数10.8tttXa10.8tttXa图32-4-2024204060801012014016018020X图 15 趋势图10.8ttta33图 16 自相关函数图10.8tttXa34由此，我们已经有了识别 MA（q）模型的工具，自相关函数 q 阶截尾。但是对于 AR（p）和 ARMA（p，q）模型，则无法区别了。2.4.2 偏自相关函数 k由 AR（p ）模型本身看，只涉及到 步相关性，但序列n的自相关函数 确是拖尾的。kAR（ P）模型的偏自相关函数 p 阶截尾。注：偏自相关函数的概率意义是在给定0,kp35的条件下， 和 的相关系数。11,ttkX tXktARMA(p,q)模型自相

12、关和偏自相关均拖尾，但是快速收敛到零。表 1 自相关和偏自相关特征表模 型 AR（ p） MA（ q） ARMA（P，q）自相关函数 拖 尾 截 尾 拖 尾偏自相关函数 截 尾 拖 尾 拖 尾36对一个实际时间序列，我们能掌握的是一段样本数据，所以首先要利用样本数据估计模型的自相关函数和偏自相关函数。【例】利用 1997 年 1 月2002 年 12 月到北京海外旅游人数资料绘制自相关和偏自相关图，在这里去掉了 2003年的数据是由于非典的流行使 2003 年到北京旅游的人数锐减，出现奇异值，不具有一般性。如图 17 所示。37Case Number8176716661565146413631

13、2621161161ValueSARS403020100图 17 1997 年 1 月2002 年 12 月到北京海外旅游人数曲线图38Autocorrelations: SARSAuto- Stand.Lag Corr. Err. -1 -.75 -.5 -.25 0 .25 .5 .75 1 Box-Ljung Prob.1 .587 .115 . *.* 25.892 .0002 .358 .115 . *.* 35.657 .0003 .166 .114 . * . 37.775 .0004 .074 .113 . * . 38.205 .0005 .068 .112 . * . 38.573 .0006 .183 .111 . * 41.281 .0007 .034 .110 . * . 41.377 .0008 .011 .110 . * . 41.387 .0009 .095 .109 . *