苏科版9上课件 教案 (16)

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1、 1.3.4 正方形综合题- 1 -第一章 图形与证明（二）1.3.4 以正方形为载体的中考试题 班级_姓名_正方形是一种特殊的四边形，它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身，优美漂亮，是中考的热点,与它有关的中考题经常出现. 正方形是初中数学的重要知识内容，纵观近几年全国各地中考试题，可以发现诸多以正方形为载体，结合其它数学知识的优秀试题，格调清新、构思巧妙，较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.方法迁移类：1. (11 济宁)数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 1，正方形 ABCD 的边长为 ，P 为12边 BC 延长线上的一点，E 为 DP 的中点，DP 的垂直平分线交边

2、 DC 于 M，交边 AB 的延长线于 N.当 CP6 时，EM 与 EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 E 作直线平行于 BC 交 DC，AB 分别于F，G，如图 2，则可得： ，因为 DEEP，所以 DFFC.可求出 EF 和 EG 的值，DFFC DEEP进而可求得 EM 与 EN 的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了 DPMN 的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.图 1 图 2 1.3.4 正方形综合题- 2 -2. (11 永州) 探究问题：方法感悟：如图，

3、在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的点，且满足EAF=45，连接EF，求证 DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG，此时 AB 与 AD 重合，由旋转可得：AB=AD，BG =DE，1=2， ABG =D=90，ABG+ABF=90+90=180，因此，点 G，B，F 在同一条直线上EAF =45 2+3= BADEAF=9045=451=2， 1+ 3=45即GAF=_又 AG=AE，AF =AFGAF_=EF，故 DE+BF=EF 方法迁移：如图，将 沿斜边翻折得到ADC，点 E，F 分别为 DC，BC 边上的

4、点，ABCRt且EAF = DAB试猜想 DE，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想12问题拓展：如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，E，F 分别为 DC,BC 上的点，满足EAF= DAB，12试猜想当B 与D 满足什么关系时，可使得 DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由） 图图图 1.3.4 正方形综合题- 3 -3. (10 绍兴) (1) 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD 上，AE、BF 交于点O，AOF90.求证：BECF .(2) 如图 2，在正方形 ABCD 中，点 E、H、F、G 分别在边 AB、BC 、CD、DA

5、上，EF、 GH 交于点 O，FOH 90， EF4.求 GH 的长.(3) 已知点 E、H、F,、G 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上，EF、GH 交于点O，FOH 90，EF4 . 直接写出下列两题的答案：如图 3，矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成,求 GH 的长；如图 4，矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成,求 GH 的长(用 n 的代数式表示) .图 1图 2图 4图 3 1.3.4 正方形综合题- 4 -4.(10 无锡) （1）如图 1，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边（不含端点 B、 C）上任意一点，P是 BC 延长线上一点，N 是

6、DCP 的平分线上一点若 AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边 AB 上截取 AE=MC，连 ME正方形 ABCD 中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB =MAB=MAE（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”（如图 2） ，N 是ACP 的平分线上一点，则当AMN=60 时，结论 AM=MN 是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形 ABCD”改为“正 边形nABCDX”，请你作出猜想：当AMN= 时，结论 AM=MN

7、 仍然成立 （直接写出答案，不需要证明）类似题型(10 黄冈) 如图，一个含 45的三角板 HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边重合，过 E 点作 EFAE 交DCE 的角平分线于 F 点，试探究线段 AE 与 EF 的数量关系，并说明理由. 1.3.4 正方形综合题- 5 -5. (11 舟山) 以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH（1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2，当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边

8、形 EFGH 的形状（不要求证明） ；（2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设ADC= （0 90） ， 试用含 的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由 ABCDHEFG图 2EBFGDHAC图 3 图 1ABCDHEFG 1.3.4 正方形综合题- 6 -6(11 盐城)情境观察将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开，得到ABC 和ACD，如图 1 所示.将ACD的顶点 A与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 D、A( A)、B 在同一条直线上，如图 2 所示观察图 2 可知：与 BC 相等的线段是 ，CAC=

9、 图 1 图 2CABAD CA BCDBCD A(A)C问题探究如 图 3， ABC 中 ， AG BC 于 点 G， 以 A 为 直 角 顶 点 ， 分 别 以 AB、 AC 为 直 角 边 ， 向ABC 外作等腰 RtABE 和等腰 RtACF，过点 E、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为 P、Q. 试探究EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论. 拓展延伸如图 4，ABC 中，AGBC 于点 G，分别以 AB、AC 为一边向ABC 外作矩形ABME 和矩形 ACNF，射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE，AC= k AF，试探究 HE 与 HF之间的数量关系，

10、并说明理由. 1.3.4 正方形综合题- 7 -图 4M NGFECBAH结论探究类：1(11 临沂)如图 1，奖三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD的顶点 A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F，另一边交 CB 的延长线于点 G（1）求证：EFEG ；（2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变 （1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，将（2）中的“ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经过点 B，其他条件不变，若 ABa，BCb，求 的值EF

11、EG图 1 图 2 图 3 1.3.4 正方形综合题- 8 -2(10 三明)正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，P 为对角线 AC 上一动点，过点 P作 PFDC 于点 F，如图 1，当点 P 与点 O 重合时，显然有 DF=CF（1）如图 2，若点 P 在线段 AO 上（不与 A、O 重合 0，PEPB 且 PE 交 CD 点 E求证：DF=EF； 写出线段 PC、PA、CE 之间的一个等量关系式，并证明你的结论；（2）若点 P 在线段 CA 的延长线上，PEPB 且 PE 交直线 CD 于点 E请完成图 3 并判断（1）中的结论、是否成立？若不成立，写出相应的结论（所写

12、结论均不必证明） 1.3.4 正方形综合题- 9 -3(11 潍坊) 已知正方形 ABCD 的边长为 a，两条对角线 AC、BD 相交于点 O，P 是射线 AB 上任意一点，过 P 点分别做直线 AC、BD 的垂线 PE、PF，垂足为 E、F.（1）如图 1，当 P 点在线段 AB 上时，求 PE+PF 的值； 1.3.4 正方形综合题- 10 -（2）如图 2，当 P 点在线段 AB 的延长线上时，求 PEPF 的值.4 （2010 湖南衡阳）如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上移动，但 A 到 EF的距离 AH 始终保持与 AB 长相等，问在 E、F 移动过程中

13、：（1）EAF 的大小是否有变化？请说明理由（2）ECF 的周长是否有变化？请说明理由5如图 1，在ABC 中，C=90，AC =4，BC=3，四边形 DEFG 为ABC 的内接正方形，若设正方形的边长为 x，容易算出 x 的长为 6037探究与计算：（1）如 图 2， 若 三 角 形 内 有 并 排 的 两 个 全 等 的 正 方 形 ， 它 们 组 成 的 矩 形 内 接于 ABC ，则正方形的边长为 ；（2）如 图 3， 若 三 角 形 内 有 并 排 的 三 个 全 等 的 正 方 形 ， 它 们 组 成 的 矩 形 内 接 于ABC，则正方形的边长为 猜想与证明：如图 4，若三角形内

14、有并排的 n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明 1.3.4 正方形综合题- 11 -6操作：将一把三角尺放在边长为 4 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q 探究：设 A、P 两点间的距离为 x（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论 （2）当点 P 在线段 AC 上滑动时，PCQ 是否可能成为等腰三角形 ?如果可能，指出所有可能的情况，并求出相应的 x 的值.旋转动点类：1. (10 宁德) 如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM. 求证：AMBENB；图 1A BCD EFG图 2A BC图 3A BCGGFFDDEE图 4A BCG FD EAB CDPQE 1.3.4 正方形综合题- 12 - 当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；EA DB CNM当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为 时，求正方形的边长.132.( 11 南通) 已知：如图 1，