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1、 1.3.4 正方形综合题- 1 -第一章 图形与证明(二)1.3.4 以正方形为载体的中考试题 班级_姓名_正方形是一种特殊的四边形,它集平行四边形、矩形、菱形的性质于一身,优美漂亮,是中考的热点,与它有关的中考题经常出现. 正方形是初中数学的重要知识内容,纵观近几年全国各地中考试题,可以发现诸多以正方形为载体,结合其它数学知识的优秀试题,格调清新、构思巧妙,较好的考察了学生的基础知识、学习能力和思维水平.方法迁移类:1. (11 济宁)数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图 1,正方形 ABCD 的边长为 ,P 为12边 BC 延长线上的一点,E 为 DP 的中点,DP 的垂直平分线交边
2、 DC 于 M,交边 AB 的延长线于 N.当 CP6 时,EM 与 EN 的比值是多少?经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过 E 作直线平行于 BC 交 DC,AB 分别于F,G,如图 2,则可得: ,因为 DEEP,所以 DFFC.可求出 EF 和 EG 的值,DFFC DEEP进而可求得 EM 与 EN 的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究,得出了 DPMN 的结论.你认为小东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.图 1 图 2 1.3.4 正方形综合题- 2 -2. (11 永州) 探究问题:方法感悟:如图,
3、在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且满足EAF=45,连接EF,求证 DE+BF=EF感悟解题方法,并完成下列填空:将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋转可得:AB=AD,BG =DE,1=2, ABG =D=90,ABG+ABF=90+90=180,因此,点 G,B,F 在同一条直线上EAF =45 2+3= BADEAF=9045=451=2, 1+ 3=45即GAF=_又 AG=AE,AF =AFGAF_=EF,故 DE+BF=EF 方法迁移:如图,将 沿斜边翻折得到ADC,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的
4、点,ABCRt且EAF = DAB试猜想 DE,BF ,EF 之间有何数量关系,并证明你的猜想12问题拓展:如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD,E,F 分别为 DC,BC 上的点,满足EAF= DAB,12试猜想当B 与D 满足什么关系时,可使得 DE+BF=EF请直接写出你的猜想(不必说明理由) 图图图 1.3.4 正方形综合题- 3 -3. (10 绍兴) (1) 如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,AE、BF 交于点O,AOF90.求证:BECF .(2) 如图 2,在正方形 ABCD 中,点 E、H、F、G 分别在边 AB、BC 、CD、DA
5、上,EF、 GH 交于点 O,FOH 90, EF4.求 GH 的长.(3) 已知点 E、H、F,、G 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上,EF、GH 交于点O,FOH 90,EF4 . 直接写出下列两题的答案:如图 3,矩形 ABCD 由 2 个全等的正方形组成,求 GH 的长;如图 4,矩形 ABCD 由 n 个全等的正方形组成,求 GH 的长(用 n 的代数式表示) .图 1图 2图 4图 3 1.3.4 正方形综合题- 4 -4.(10 无锡) (1)如图 1,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 边(不含端点 B、 C)上任意一点,P是 BC 延长线上一点,N 是
6、DCP 的平分线上一点若 AMN=90,求证:AM=MN下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明证明:在边 AB 上截取 AE=MC,连 ME正方形 ABCD 中,B=BCD=90,AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB =MAB=MAE(下面请你完成余下的证明过程)(2)若将(1)中的“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”(如图 2) ,N 是ACP 的平分线上一点,则当AMN=60 时,结论 AM=MN 是否还成立?请说明理由(3)若将(1)中的“正方形 ABCD”改为“正 边形nABCDX”,请你作出猜想:当AMN= 时,结论 AM=MN
7、 仍然成立 (直接写出答案,不需要证明)类似题型(10 黄冈) 如图,一个含 45的三角板 HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边重合,过 E 点作 EFAE 交DCE 的角平分线于 F 点,试探究线段 AE 与 EF 的数量关系,并说明理由. 1.3.4 正方形综合题- 5 -5. (11 舟山) 以四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为 E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形 EFGH(1)如图 1,当四边形 ABCD 为正方形时,我们发现四边形 EFGH 是正方形;如图 2,当四边形 ABCD 为矩形时,请判断:四边
8、形 EFGH 的形状(不要求证明) ;(2)如图 3,当四边形 ABCD 为一般平行四边形时,设ADC= (0 90) , 试用含 的代数式表示HAE; 求证:HE=HG; 四边形 EFGH 是什么四边形?并说明理由 ABCDHEFG图 2EBFGDHAC图 3 图 1ABCDHEFG 1.3.4 正方形综合题- 6 -6(11 盐城)情境观察将矩形 ABCD 纸片沿对角线 AC 剪开,得到ABC 和ACD,如图 1 所示.将ACD的顶点 A与点 A 重合,并绕点 A 按逆时针方向旋转,使点 D、A( A)、B 在同一条直线上,如图 2 所示观察图 2 可知:与 BC 相等的线段是 ,CAC=
9、 图 1 图 2CABAD CA BCDBCD A(A)C问题探究如 图 3, ABC 中 , AG BC 于 点 G, 以 A 为 直 角 顶 点 , 分 别 以 AB、 AC 为 直 角 边 , 向ABC 外作等腰 RtABE 和等腰 RtACF,过点 E、F 作射线 GA 的垂线,垂足分别为 P、Q. 试探究EP 与 FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. 拓展延伸如图 4,ABC 中,AGBC 于点 G,分别以 AB、AC 为一边向ABC 外作矩形ABME 和矩形 ACNF,射线 GA 交 EF 于点 H. 若 AB= k AE,AC= k AF,试探究 HE 与 HF之间的数量关系,
10、并说明理由. 1.3.4 正方形综合题- 7 -图 4M NGFECBAH结论探究类:1(11 临沂)如图 1,奖三角板放在正方形 ABCD 上,使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD的顶点 A 重合,三角板的一边交 CD 于点 F,另一边交 CB 的延长线于点 G(1)求证:EFEG ;(2)如图 2,移动三角板,使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上,其他条件不变 (1)中的结论是否仍然成立?若成立,情给予证明;若不成立,请说明理由;(3)如图 3,将(2)中的“ABCD”改为“矩形 ABCD”,且使三角板的一边经过点 B,其他条件不变,若 ABa,BCb,求 的值EF
11、EG图 1 图 2 图 3 1.3.4 正方形综合题- 8 -2(10 三明)正方形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC 的中点,P 为对角线 AC 上一动点,过点 P作 PFDC 于点 F,如图 1,当点 P 与点 O 重合时,显然有 DF=CF(1)如图 2,若点 P 在线段 AO 上(不与 A、O 重合 0,PEPB 且 PE 交 CD 点 E求证:DF=EF; 写出线段 PC、PA、CE 之间的一个等量关系式,并证明你的结论;(2)若点 P 在线段 CA 的延长线上,PEPB 且 PE 交直线 CD 于点 E请完成图 3 并判断(1)中的结论、是否成立?若不成立,写出相应的结论(所写
12、结论均不必证明) 1.3.4 正方形综合题- 9 -3(11 潍坊) 已知正方形 ABCD 的边长为 a,两条对角线 AC、BD 相交于点 O,P 是射线 AB 上任意一点,过 P 点分别做直线 AC、BD 的垂线 PE、PF,垂足为 E、F.(1)如图 1,当 P 点在线段 AB 上时,求 PE+PF 的值; 1.3.4 正方形综合题- 10 -(2)如图 2,当 P 点在线段 AB 的延长线上时,求 PEPF 的值.4 (2010 湖南衡阳)如图,在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在 BC、CD 上移动,但 A 到 EF的距离 AH 始终保持与 AB 长相等,问在 E、F 移动过程中
13、:(1)EAF 的大小是否有变化?请说明理由(2)ECF 的周长是否有变化?请说明理由5如图 1,在ABC 中,C=90,AC =4,BC=3,四边形 DEFG 为ABC 的内接正方形,若设正方形的边长为 x,容易算出 x 的长为 6037探究与计算:(1)如 图 2, 若 三 角 形 内 有 并 排 的 两 个 全 等 的 正 方 形 , 它 们 组 成 的 矩 形 内 接于 ABC ,则正方形的边长为 ;(2)如 图 3, 若 三 角 形 内 有 并 排 的 三 个 全 等 的 正 方 形 , 它 们 组 成 的 矩 形 内 接 于ABC,则正方形的边长为 猜想与证明:如图 4,若三角形内
14、有并排的 n 个全等的正方形,它们组成的矩形内接于ABC,请你猜想正方形的边长是多少?并对你的猜想进行证明 1.3.4 正方形综合题- 11 -6操作:将一把三角尺放在边长为 4 的正方形 ABCD 上,并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动,直角的一边始终经过点 B,另一边与射线 DC 相交于点 Q 探究:设 A、P 两点间的距离为 x(1)当点 Q 在边 CD 上时,线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系?试证明你的结论 (2)当点 P 在线段 AC 上滑动时,PCQ 是否可能成为等腰三角形 ?如果可能,指出所有可能的情况,并求出相应的 x 的值.旋转动点类:1. (10 宁德) 如图,四边形 ABCD 是正方形,ABE 是等边三角形,M 为对角线 BD(不含 B 点)上任意一点,将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN,连接 EN、AM、CM. 求证:AMBENB;图 1A BCD EFG图 2A BC图 3A BCGGFFDDEE图 4A BCG FD EAB CDPQE 1.3.4 正方形综合题- 12 - 当 M 点在何处时,AMCM 的值最小;EA DB CNM当 M 点在何处时,AMBMCM 的值最小,并说明理由; 当 AMBMCM 的最小值为 时,求正方形的边长.132.( 11 南通) 已知:如图 1,