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1、学院 系别 姓名 学号 密封线以内答题无效第 1 页 共 6 页电子科技大学二零零 五 至二零零 六 学年第 一 学期期 末 数学物理方法 课程考试题（ 分钟） 考试形式： B 卷 考试日期 2006 年 月 日一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷教师一、 填空（5*4= 20 分）1、定解问题 的解为20,(,0)(,)1 txtuaxtu(,)_.uxtt2、确定下列本征值问题()()00,Xxl的本征值 ，本征函数2(1),124kkl()Xxsin,0,xl3、 12358105()d_.P4、已知 则 ；而函数 按 的01(),(),xPx2()Px23121()35f
2、xx()lPx展开式为 。()f2105二、 一根杆由截面相同的两段连接而成，两段的材料不同，杨氏模量分别为 ，写,Y出衔接条件。 （10 分）解：设两段杆的接点为 ，在连接处位移 是连续的，所以有 ，0xu00xxu学院 系别 姓名 学号 密封线以内答题无效第 2 页 共 6 页在连接处两方的作用力为： 001xxuFYSn002xxuS12F00xxuuYSS学院 系别 姓名 学号 密封线以内答题无效第 3 页 共 6 页三、 在圆域 上求解泊松方程的边值问题 （200 02()uabxyc分）提示：先设法找到特解，再利用 ，把问题转化为 的定解问题。uvww【解】 先设法找到泊松方程的一
3、个特解显然有 ，为对称起见，取22(), ()axya又因为 ， 这样，找到一个特解2()4xya42()1bx42()1by24 224()cos1abyxyv令 24cos,1buvww就把问题转化为 的定解问题w02400cos.1abc在极坐标中用分离变量法求解拉普拉斯方程的一般结果为 110 )sincos()sinos(ln),( mmmmDCBADCu 并且 在圆域内应当是有界的但上式的 和 当 趋于零（圆心）时为无限大，所以应当排除，wl故 于是,0m0()(cosin).mm把上式代入边界条件 240 00(i)co1smmbaABc比较两边系数得 22000, (,); 4
4、1mabAc B这样，所求解为 22200()()cosuvw学院 系别 姓名 学号 密封线以内答题无效第 4 页 共 6 页四、用特征线法解 （15 分）2222300:,uuxy解：特征方程为 2 3()301dydyxx121cdyxyx令 ，作特征变换，最后原来方程变为：320u所以 ()(3)()uFGxyG利用初始条件得到对（*）积分得到 2 (3)0x 1(3)FxGc所以 22913(3)()44FxCFxCG所以： 22(3)()14uFxy五、在上半平面 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 （20 分）0y学院 系别 姓名 学号 密封线以内答题无效第 5 页 共 6 页0,
5、(0)|) xyu提示：拉普拉斯第一边值问题解的公式 ；拉普000 (,)()(,)d)dT GuGfVSAnrrr拉斯方程的第一边值问题的解为00(,)()dGuSArrn【解】 根据第一边值问题，构建的格林函数满足2 00()()xyxy0|y分别在 处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源） ，0(,),)则可构建格林函数为22000()()1,|ln4xyGxy注意到边界外法线方向为负 轴，故有000022211|=()()()y yynxyxx 代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，并注意到拉普拉斯方程的自由项 ,则由f000 ,(),ddT GuGfVSArrrn得0020()(,)y
6、xxy或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式 00(,)()duSrrn得到002()(,)xyxy六、已知勒让德多项式 ，将函数20121(),(),()3)PxPx展开为勒让德多项式 的形式。 （10 分）cos2(0)cosn解：令 ，则 （1 分）x2cosx设 ， （偶函数 ） （1 分）2021()()CP10C（1 分）231xxA学院 系别 姓名 学号 密封线以内答题无效第 6 页 共 6 页， （1 分）243C01（1 分）202414cos()()()(cos)(cs)33PxP七、利用特殊函数的有关性质，计算下列积分：(5 分)41()xJd解：方法一：（2 分）142122()()()vvxJxdJdx（1 分）42JJx（1 分）3()()d（1 分）423xJxC方法二：由 1()()vvdxJxJ01()（2 分）440()xJdxJd（1 分）30()420()xJxJ（1 分）301()8xd（1 分）420()()xJJC
