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1、第六节 微分法在几何上的应用分布图示 空间曲线的切线与法平面 例 1 空间曲线的切线与法平面 (续) 例 2 例 3 空间曲面的切平面与法线 空间曲面的切平面与法线 (续) 全微分的几何意义 曲面的法向量的方向余弦 例 4 例 5 例 6 例 7 例 8 内容小结 课堂练习 习题 86 返回内容要点一、空间曲线的切线与法平面： )(,),(tztytx曲线 在点 处的切线方程为0M(6.2).)()()(000tztytx曲线在某点处的切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 就是曲线)(,),(00tzytxT在点 处的一个切向量.过点 且与切线垂直的平面称为曲线 在点 的法平面. 曲线的切向
2、量就是法平面0M0M的法向量，于是这法平面的方程为(6.3)()()( 000 ztytxt空间曲线 的方程为 的情形；)(zy空间曲线 的方程为 的情形；0),(zyxGF二、空间曲面的切平面与法线： ,),(切平面的方程为 (6.12),0)()()(00 000 zFyFxFMzMyMx称曲面在点 处切平面的法向量为在点 处曲面的法向量，于是，在点 处曲面0M的法向量为 (6.13).,(),(),( 000 zyxFzyxzyxFn过点 且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 因此法线方程为0M(6.14)000| MzyMxFF曲面 方程为 的情形；),(yfz设 表示曲面的法向
3、量的方向角，并假定法向量与 轴正向的夹角 是一锐角，、 z则法向量的方向余弦为,1cos2yxf,1cos2yxf .1cos2yxf其中 ).,(),(00fyxf例题选讲空间曲线的切线与法平面例 1 (E01) 求曲线 , 在点(1,1,1) 处的切线方程及法平面方程.,tx2y3tz解 因为 而点(1,1,1)所对应的参数 所以,ttt ,1t.3,2,1ttt zyx于是，切线方程为,法平面方程为.0)1(3)(2)1(zyx即 .6例 2 求曲线 ttu eztydex 30 1,cosin2,cos在 处的切线和法平面方程.t解 当 时，t,x1,z,stx ,sinco2ty t
4、ez3)0(2)(y3)0(切线方程 ,3210zyx法平面方程 即,0)()(2.0832zyx例 3 求出曲线 上的点，使在该点的切线平行于已知平面32,zxy .42zyx解 设所求切点为 则曲线在该点的切线向量为 由于切线平),(0zyx ,32,10xs行于已知平面 因而 垂直于已知平面的法线向量 故有,42zs ,nns 132)(100x,即 或 将它代入曲线方程, 求得切点为 和10x3 ),(M.271,932例 4 (E02) 求球面 在点(1,2,3) 处的切平面及法线方程.1422zyx解 ,),(zyF.2),(2),(2, zyxFzyxxz.63,1431,)31
5、( zyx所以在点(1,2,3)处的切平面方程为即 ,0)(6)2()(2 .01432zyx法线方程为即 ,31zyx .1z由此可见，法线经过原点(即球心 ).空间曲面的切平面与法线例 5 (E03) 求旋转抛物面 在点 处的切平面及法线方程.12yxz)4,(解 令 ),(zyxF2)4,12(n)4,12(,yx,切平面方程为即 ,0)(4zyx ,06zyx法线方程为 .1424zyx例 6 求曲面 在点 处的切平面及法线方程.3xyez)0,2(解 令 ),(yxF,z,yFx,xzzeF1)0,21(n)0,21(,ze,4切平面方程为即,(4zyx ,0yx法线方程为 .012
6、例 7 求曲面 平行于平面 的各切平面方程.2132zyx 064zyx解 设 为曲面上的切点,则切平面方程为),(0z ,0)(6)(420zyx依题意, 切平面方程平行于已知平面, 得100z.200zyx是曲面上的切点,满足曲面方程,代入得),(0zyx ,1故所求切点为 切平面方程(1),2,(,2即,0)2(1(81zyx ;264zyx切平面方程(2)即,).1例 8 求曲面 上同时垂直于平面 与 的切平面方0322xyzx 0z0yx程.解 设 则),(zyF,22z,2yxF,2zF曲面在点 的法线向量为,0x.2)()2( 00kzjxyin由于平面 的法线向量 平面 的法线向量 而 同时垂直于0z,1kn1y,2jinn与 所以 平行于 但1n,2n,221n01kji,ji所以存在数 使得,012,2000zxyx即 ,y,解之得 将其代入原曲面方程,求得切点为 和,0xz )0,1(M),01(2因而,所求的切平面方程为:即 和 即,0)1(y,02yx ,)(yx.yx课堂练习1. 求曲线 在对应于 的点处的切线方程及法平面方程.32,tzytx1t2. 若平面 与椭球面 相切, 求01631622zyx.
