1集合的概念和表示方法教材分析

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1、1 集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理论，称为集合论它是近、现代数学的一个重要基础一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合） 、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识这节内容是初中有关内容的深化和延伸首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子本节的重点是集合的基本

2、概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法正确表示一些简单的集合教学目标1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法2. 初步了解“属于” 关系的意义，理解集合中元素的性质3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言） ，培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力任务分析这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念集合的表示方法也是通过实例加以说

3、明，化难为易，便于学生掌握教学设计一、问题情境1. 在初中，我们学过哪些集合？2. 在初中，我们用集合描述过什么？学生讨论得出：在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”， “负数的集合 ”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合几何图形都可以看成点的集合3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？学生讨论得出：“全体” 、 “一类 ”、 “一群”、 “所有”、 “整体”，4. 请写出“小于 10”的所有自然数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这些可以构成一个集合5. 什么是集合？二、建立模型1. 集合的

4、概念（先具体举例，然后进行描述性定义）（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素（3）集合中的元素与集合的关系：a 是集合 A 中的元素，称 a 属于集合 A，记作 aA；a 不是集合 A 中的元素，称 a 不属于集合 A，记作 a A例：设 B1，2，3 ，则 1B ，4 B2. 集合中的元素具备的性质（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了如上例，给出集合 B，4 不是集合的元素是可以确定的（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的例：若集合 Aa，b ，则 a 与

5、b 是不同的两个元素（3）无序性：集合中的元素无顺序例：集合1，2与集合2，1表示同一集合3. 常用的数集及其记法全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集） ，记作 N非负整数集内排除 0 的集合简称正整数集，记作 N*或 N+；全体整数的集合简称整数集，记作 Z；全体有理数的集合简称有理数集，记作 Q；全体实数的集合简称实数集，记作 R4. 集合的表示方法问题如何表示方程 x23x20 的所有解？（1）列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法例：x23x20 的解集可表示为1，2 （2）描述法描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法例：x23x20 的解集可表示为xx

6、23x20 不等式 x32 的解集可表示为xx32 Venn 图法例：x23x20 的解集可以表示为（1，2） 5. 集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合例如，A 1，2 （2）无限集：含有无限个元素的集合例如，N （3）空集：不含任何元素的集合，记作 例如， xx210，xR 注：对于无限集，不宜采用列举法三、解释应用例题1. 用适当的方法表示下列集合（1）由 1，2，3 这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数（2）平面内到一个定点 O 的距离等于定长 l（l0）的所有点 P（3）在平面 a 内，线段 AB 的垂直平分线 （4）不等式 2x82 的解集2. 用不

7、同的方法表示下列集合（1） 2，4，6，8 （2） xx2x10 （3） xN3x7 3. 已知 AxN66xN 试用列举法表示集合 A（A0，3，5 ）4. 用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合练习1. 用适当的方法表示下列集合（1）构成英语单词 mathematics（数字）的全体字母（2）在自然集内，小于 1000 的奇数构成的集合 （3）矩形构成的集合2. 用描述法表示下列集合（1） 3，9，27，81， （2）四、拓展延伸把下列集合“翻译” 成数学文字语言来叙述（1） （x，y）yx21，xR （2） yyx21，xR （3） （x，y）yx21，xR （4） xy

8、x21，yN* 点评这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识2 集合之间的关系 教材分析集合之间的关系是集合运算的基础和前提，是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁和工具这节内容是对集合的基本概念的深化，延伸，首先通过类比、实例引出子

9、集的概念，再结合实例加以说明，然后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种情况这节内容的教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别教学目标1. 通过对子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成的过程，培养学生的抽象、概括能力2. 了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，培养学生对数学的理解能力3. 通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学知识发生、发展、运用的过程，培养学生的科学思维方法任务分析这节内容是在学生已经掌握了集合的概念和表示方法以及两个实数之间有大小关系的基础上，进一步学习和研究两个集合之间的关系，采用从实例入手，由具体到抽

10、象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具体、特殊的方法，知识的产生、发生比较自然，易于学习、接受和掌握；采用分类讨论的方法阐述子集包括真子集、等集（两集合相等）两种情况，这可以使学生更好地认识子集、真子集、等集三者之间的内在联系教学设计一、问题情境 1. 元素与集合之间的关系是什么？元素与集合是从属关系，即对一个元素 x 是某集合 A 中的元素时，它们的关系为xA若一个对象 x 不是某集合 A 中的元素时，它们的关系为 x A2. 集合有哪些表示方法？列举法，描述法，Venn 图法数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看下面两个集合：A1，2，3 ，B1，2，3

11、，4，5 它们之间有什么关系呢？二、建立模型1. 引导学生分析讨论集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素集合 B 中的元素 4，5 不是集合 A 中的元素2. 与学生共同归纳，明晰子集的定义对于上述问题，教师点拨，A 是 B 的子集，B 不是 A 的子集子集：对于两个集合 A，B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即集合A 包含于集合 B，或集合 B 包含集合 A，记作 A B（或 B A） ，就说集合 A 是集合 B的子集用符号语言可表示为：如果任意元素 xA ，都有 xB，那么 A B规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合 A，有 A3. 提出问题，组

12、织学生讨论给出三个集合：A1，2， 3 ，B1，2，3，4，5 ，C1，2，3 （1）A 是 B 的子集吗？B 是 A 的子集吗？（2）A 是 C 的子集吗？C 是 A 的子集吗？4. 教师给出真子集与两集合相等的定义上述问题中，集合 A 是集合 B 的子集，并且集合 B 中有元素不属于集合 A，这时，我们就说集合 A 是集合 B 的真子集；集合 A 是集合 C 的子集，且集合 A 与集合 C 的元素完全相同，这时，我们就说集合 A 与集合 C 相等真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，即 AB，并且 B 中至少有一个元素不属于集合 A，那么集合 A 叫作集合 B 的真子集，记作A B 或

13、 B A A B 的 Venn 图为两集合相等：如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，即 A B，反过来，集合 B 的每一个元素也都是集合 A 中的元素，即 B A，那么就说集合 A 等于集合 B，记作 AB AB 的 Venn 图为思考：设 A，B 是两个集合，A B，A B，AB 三者之间的关系是怎样的？5. 子集、真子集的有关性质 由子集、真子集的定义可推知：（1）对于集合 A，B，C，如果 A B，B C，那么 A C（2）对于集合 A，B，C，如果 A B，B C，那么 A C （3）A A（4）空集是任何非空集合的真子集三、解释应用例题1. 用适当的符号（， ， ，

14、）填空（1）3 _ 1，2，3 （2）5 _ 5 （3）4 _ 5 （4） a _ a，b，c （5）0 _ （6） a，b，c _ b，c （7） _ 0 （8） _ （9） 1，2 _ 2，1 （10）Gxx 是能被 3 整除的数 _ H xx 是能被 6 整除的数 2. 写出集合a，b的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集3. 说出下列每对集合之间的关系（1）A1，2，3，4， ， B3，4 （2）Pxx21 ，Q-1，1 （3）N，N*（4）CxRx2-1 ， D0 练习1. 用适当的符号（， ， ， ）填空（1）a _ a （2）b _ a （3） _ 1，2 （4） a，b _ b，a （5）A1，2，4 _ Bxx 是 8 的正约数 2. 求下列集合之间的关系，并用 Venn 图表示Axx 是平行四边形 ， Bxx 是菱形 ，Cxx 是矩形 ，Dxx 是正方形 拓展延伸填表表 2-1集合 集合中元素的个数 子集的个数 真子集的个数a 1 a，b 2 a，b，c 3 a，b，c，d 4 （1）你能找出“集合中元素的个数”与“ 子集的个数”、 “真子集的个数”之间关系吗？（2）如果一个集合中有 n 个