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1、1980 年全国高考数学试题及其解析理工农医类一、将多项式x 5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:(1)有理数范围; (2)实数范围 (3)复数范围.二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点.(a、b、N都是正数,a1,b1)五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线 l垂直于AB.(1)写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T;(2)试求最小的正整数k,使得当自变量x在任
2、意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m.七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知ACD、CBD、ABC的面积成等比数列,求B(用反三角函数表示).、九、抛物线的方程是y2=2x,有一个半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.附加题问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点.文史类一 （本题满分 8 分）化简 .231i二 （本题满分 10 分） .1,9345:yxz解 方 程 组三 （本题满 10 分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角。四 （本题满分 12
3、分）某地区 1979 年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使 1980 年的工业总产值比上一年增长 10%，且使 1980 年的轻工业产值占工业总产值的 24%，问 1980 年轻工业产值应比上一年增长百分之几？五 （本题满分 14 分）六 （本题满分 16 分）1若四边形 ABCD 的对角线 AC 将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线 AC 必平分对角线 BD。2写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？七 （本题满分 16 分）如图，长方形框架 ABCD-ABCD。三边 AB、AD、AA的长分别为 6、8、3.6，AE 与底面的对角线 BD垂直于 E。1证明 AEBD; 2.
4、求 AE 的长。八 （本题满分 16 分）1把参数方程（t 为参数）化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图。,2sectgyx2当 时，各得到曲线的哪一部分？230t及 )4sin()2sin(3i(4cos,453 化 简设理工农医类参考答案及解析二、证明:设O1、O2、O3的半径分别为1、2、3.因这三个圆两两外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,O1O2O3为直角三角形.三、证明:取ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),根据所选
5、坐标系,如图,有a0,b0.解(1)、(2),得:(b-c)x=0.b-c0,x=0.这就是说,高线CE、BD的交点的横坐标为0,即交点在高线AO上.因此,三条高线交于一点.四、证法一:令logbN=x,根据对数定义,bx=N.两端取以a为底的对数,Logabxx=logaN,xlogab=logaN. b1,logab0,证法二:令logbN=x,根据对数定义,N=bx=(alogab)x=axlogab, xlogab=logaN. b1,logab0,五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾,所以平面N与平面M相交.
6、设平面N与平面M的交线为 l.PA平面M,PA l.又PB平面N,PB l. l平面PAB, lAB.六、解:(1)M=1,m=-1,(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.而任意两个整数间的距离都1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须使f(x)的周期1.可见,k=32就是这样的最小正整数.七、解法一:设CD=h,AB=c,BD=x,则 AD=c-x.即x2=c(c-x),即x2+cx-c2=0,取负号不合题意,又依直角三角形的性质,有AC2=ADAB=c(c-x).但x2=c(c-x),AC2=x2,解法二:由题设有(CDBD)
7、2=(CDAD)(CDAB),BD2=ADAB.但 AC2=ADAB,BD=AC.两端乘以正数sin ,问题化为证明2sin sin2 1+cos .而2sin sin2 =4sin2 cos =4(1-cos2 )cos=4(1-cos )(1+cos )cos .所以问题又化为证明不等式(1+cos )4(1-cos )cos -10.8t2(1-t2)(1+t2)2,即 -9t4+6t2-10,-(3t2-1)20.不等式成立.九、解:设圆的方程为(x-k)2+y2=1.再设圆与抛物线的一个交点为P(x0y0).在P点抛物线的切线与圆的切线垂直,必须且只须圆的半径与抛物线在P点相切.由(
8、1)、(2)式消去y0,得x0=-k,将(2)代入(3),得(x0-k)2+2x0-1=0,将x0=-k代入,得 4k2-2k-1=0,由于对称性,圆与抛物线的另一交点 (x0,-y0)处的切线也互相垂直.附加题解法一:消去参数,得消去y,整理得(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0.(a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)0.化简并约去a2得(a2-1)m2-2bm+(1-b2)0.对任何m的值,要使这个式子永远成立,条件是即为所求的条件.解法二:直线(L)即y=mx+b;它通过P(0,b)点,斜率为m.如果P(0,b)落在(E)内或(E)上,如
9、P1,则过P1点作任意直线(L)显然与椭圆(E)总有公共点.如果P(0,b)落在(E)外,如P2,那么由P2向椭圆作两切线,则(E)上所有的点都在两切线的一个夹角内,所以可以选择斜率m的值,使直线(L)落在这个夹角的补角内,(L)与(E)就没有公共点了.因此,(L)与(E)总有公共点的充要条件是p(0,b)点落在(E)内或(E)上.要使(E)与y轴有公共点,其充要条件是a1;这时,(E)与y轴的文史类参考答案及解析一、解：原式= .1379i二、解略：方程组的解为 21zyx三、证：将圆的直径 AB 所在的直线取为 X 轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为 1，于是圆的方程是x2+y2=1.A
10、、B 的坐标是 A（-1，0） 、B（1，0） 。设 P(x,y)是圆上任一点，则有 y2=1-x2.PA 的斜率为 ，11xykPB 的斜率为 ，12xyk 1221xykPAPB，APB 为直角。四、解：设 1979 年的工业总产值为 a，又设 1980 的轻工业产值比上一年增长 x%，则按题意，1980 年的轻工业产值为)1024()10()2axa解得：x=32。答：略。五、解： )4sin()cos2原 式,234,453.)sin(4)sin( 2.1,0)sin(原 式六、证：1。S ABC =SADC ，且ABC 与ADC 有同底 AC，两高线相等：BE=DF。设 AC 与 B
11、D 交于点 O，则RtBOERtDOF。OB=OD。即 AC 平分 BD。 （若 E、O、F 重合、则已有 BO=BE=DF=DO）2逆命题：若四边形 ABCD 的对角线 AC 平分对角线 BD，则 AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形。这个逆命题是正确的。证明如下：在上图中，由于 OB=OD，BOE=DOF（对顶角） ，BEO=DFO=Rt，BOEDOF。BE=DF，即两高线相等。S ABC = ACBE= ACDF=SADC 。21七、解：1. .,DBACA平 面EDBE因 此 平 面又 ,八、解：1.利用公式 sec2t=1+tg2t,得 .4122yx曲线的直角坐标普通方程为图略。.142yx2当 时，x1，y0,得到的是曲线在第一象限的部分（包0t括（1，0）点）;当 时，x-1，y0,得到的是曲线在第二象限的部分（包23t括（-1，0）点） 。.68.4.38.4,66 )2(.22 AEDBADB倍面 积 的都 是
