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1、1951 年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共 24 小题，满分 0 分）1设有方程组 ，求 x，y考点：二元一次不等式组；不定方程和方程组。专题：计算题。分析：通过将两个式子相加求出 x，将 x 的值代入一个方程求出 y 得到不等式组的解集解答：解：两式相加得 x=5将 x=5 代入得 y=3方程组 的解为点评：本题考查在解方程组组时常用的方法是加减消元法与代入消元法2若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？考点：三角形的形状判断。专题：探究型。分析：利用等腰三角形的中线与高重合，得到 AF、BE、CD 为三角形的高；利用全等三角形的判定定理得到两边相等，
2、判断出三角形的形状解答：证明：设ABC 的重心与外接圆的圆心均为 O（如图）OA=OC，E 为 AC 的中点，BEAC；同理，CDAB，AF BC在 RtABE 与 RtACD 中，A 为公共角， BE=CD=R+ R= R（R 为外接圆半径） ，所以ABEACD，AB=AC，同理可得 AB=BC由此可知ABC 为等边三角形点评：本题考查三角形的外心的性质、重心的性质、三角形全等的判定定理、据三角形的边角的关系判断出三角形的形状3当太阳的仰角是 60时，若旗杆影长为 1 丈，则旗杆长为若干丈？考点：三角形中的几何计算。专题：计算题。分析：把旗杆的影子和旗杆为两直角边建立数学模型，通过解三角形求
3、解解答：解：旗杆长为：1tan60 = 丈故旗杆长为 丈点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了分析问题和解决问题的能力4若 ，而 a，b，c 各不相等，求 x+y+z 的值考点：二元一次不等式组。专题：计算题。分析：本题根据 ，设出 =t，从而将 x，y，z 用 a，b，c，t 来表示即可解答：解：设 =t，则有 x=（a b）t，y=（bc）tz=（ca）t由此可得：x+y+z=（ab）t+（bc）t+（ca）t=0点评：本题考查了换元的解题思想方法，属于基础题5试题 10 道，选答 8 道，则选法有几种？考点：组合及组合数公式。专题：计算题。分析：利用组合表示完成事件的方法数；利用组
4、合数的性质及组合数公式求出值解答：解：从试题 10 道，选答 8 道，选法有C108=C_102=frac10912=45答：选法有 45 种点评：本题考查求完成事件的方法数常用组合、排列；考查组合数的性质、组合数公式6若一点 P 的极坐标是（ r，） ，则它的直角坐标如何？考点：点的极坐标和直角坐标的互化。专题：计算题。分析：利用 x=cos，y=sin直接求出点 P 的极坐标是（r， ）的直角坐标，即可解答：解：由题意可知 x=rcos，y=rsin 所以点 P 的极坐标是（r，）的直角坐标为：（rcos，rsin） 点评：本题是基础题考查极坐标与直角坐标是转化，考查计算能力7若方程 x2
5、+2x+k=0 的两根相等，则 k=？考点：二次函数的性质。专题：计算题。分析：由二次方程根的知识，只要=0 即可解答：解：由=b 24ac=0，得 k=1；故 k=1点评：本题考查二次方程跟和系数的关系，属基础知识的考查8列举两种证明两个三角形相似的方法考点：相似三角形的判定。专题：阅读型。分析：用来证明两个三角形相似的方法有三边对应成比例，两边对应成比例且夹角相等，这些方法都可以判断两个三角形相似解答：解：三边对应成比例，两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似点评：本题考查两个三角形相似的方法，考查列举几种方法，这是一个总结知识点的题目，是一个基础题9当（x+1 ） （x
6、2）0 时，x 的值的范围如何？考点：一元二次不等式的解法。专题：计算题。分析：根据两数相乘，异号得负，把原不等式化为 x+1 大于 0 且 x2 小于 0，或 x+1 小于 0 且 x2 大于 0，即可得到原不等式的解集解答：解：（x+1） （x2）0 可化为：或 ，解得：1x2点评：此题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，是一道基础题10若一直线通过原点且垂直于直线 ax+by+c=0，求直线的方程考点：直线的一般式方程。专题：待定系数法。分析：根据垂直关系设所求的直线的方程为 bxay+m=0，把原点的坐标代入解得 m 值，从而得到所求的直线的方程解答：解：设所求的直线的方
7、程为 bxay+m=0，把原点的坐标代入解得 m=0，故所求的直线的方程为：bxay=0 点评：本题考查两直线垂直的性质，与直线 ax+by+c=0 垂直的直线的方程一定为 bxay+m=0 的形式11 （x+ ） 6 展开式中的常数项如何？考点：二项式定理。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 0，求出展开式的常数项解答：解：展开式的通项为 Tr+1=C6rx62r令 62r=0 得 r=3故展开式的常数项为 T4=20点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题12cos2 =0 的通解是什么？考点：二倍角的余弦。专题：计算题。
8、分析：直接利用特殊角的三角函数，求出 cos2=0 的通解，即可解答：解：因为 cos2=0，所以 2=2k+ ，k Z，即： =k （k 为整数）点评：本题是基础题，考查三角函数的求解，特殊角的三角函数，考查计算能力13系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？考点：根的存在性及根的个数判断；一元 n 次方程根与系数的关系。专题：阅读型。分析：利用三次函数的值域为（，+） ，结合实际例子，得出结论解答：解：由于三次函数的值域为（，+） ，故系数是实数的一元三次方程最少有一个实数根，最多有三个实数根如方程 x3=0，只有一个实数根是 x=0；如方程 x（x2） （x3）
9、=0，有三个实数根是 x=0，x=2，x=3点评：本题考查系数是实数的一元三次方程实数根的个数判断方法，体现了分类讨论的数学思想14求 的值考点：二阶矩阵；三阶矩阵。专题：计算题。分析：根据求行列式的方法化简即得解答：解： =（2）0 3+455+（ 5）4550554 （2） 4（ 5） 3=100点评：考查学生掌握行列式化简方法的能力属于基础题15x 24y2=1 的渐近线的方程如何？考点：双曲线的简单性质。专题：计算题。分析：根据双曲线渐近线方程的求法，结合题意，直接计算可得答案解答：解：根据题意，双曲线的方程为 x24y2=1；则其渐近线方程为 x24y2=0；化简可得 x2y=0；故
10、 x24y2=1 的渐近线为：x2y=0 点评：本题考查双曲线的性质，要求学生掌握由双曲线的方程求其渐近线方程的基本方法16三平行平面与一直线交于 A，B，C 三点，又与另一直线交于 A，B，C 三点，已知AB=3，BC=7 及 AB=9 求 AC考点：空间图形的公理。专题：计算题。分析：首先做出辅助线，过点 A 与直线 AB确定一个平面，在这个平面上过 A 做 AB的平行线，交面 于 B1，交 于 C1，根据面面平行的性质定理得到两条直线平行，对应线段成比例，等量代换得到比例式，代入数据得到结果解答：解：过点 A 与直线 AB确定一个平面，在这个平面上过 A 做 AB的平行线，交面 于 B1
11、，交 于 C1，面 ABB1 同时与两个平面相交，得到交线平行， ，同理得到AB=3，BC=7，A B=9AC= =30点评：本题考查面面平行的性质定理，考查平行线分线段成比例定理，考查等量代换思想，是一个比较简单的综合题目17有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为 18 立方尺，求圆锥的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。专题：计算题。分析：设圆柱的底面面积为 s，高为 h，则有圆柱的体积公式和圆锥的体积公式的关系直接求解即可解答：解：设圆柱的底面面积为 s，高为 h因为圆柱的体积公式 sh，而圆锥的体积公式为 sh，所以圆锥的体积为 6 立方尺点评：本题考查圆柱的体积公式和圆锥的体积公式的
12、关系，属基本公式的考查18已知 lg2=0.3010，求 lg5考点：对数的运算性质。专题：计算题。分析：注意到 lg2+lg5=1 即可解答：解：lg5=1lg2=0.6990点评：对于高中生而言，对数以及对数函数的知识点相对较为陌生，在掌握这部分知识时，可以结合着指数函数的知识及对数函数与相应指数函数成反函数的关系进行理解，外，函数图象也是帮助学生理解其性质的重要帮手19抛物线 y2=12x 与 2x2=3y 的公共弦的长度是多少？考点：曲线与方程。专题：计算题。分析：通过将两条抛物线的方程联立，解方程组求出交点坐标，利用两点距离公式求出弦长解答：解：由解方程组得两公共点为（0，0）及（3
13、，6）故其公共弦长为： = 点评：本题考查通过解曲线的方程构成的方程组求出交点坐标、考查两点距离公式20国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？考点：圆內接多边形的性质与判定。专题：计算题。分析：在AGF 中，根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，把五角星的五个角放到了一个三角形中，五个角的和恰好是三角形的三个内角，又知这五个角是相等的，得到要求的结果解答：解：由图可知：AFG=C+ E=2C，AGF=B+D=2B，A+AFG+AGF=A+2C+2B=5A5A=180，A=36点评：本题考查三角形内角和是 180，考查三角形一个外角等于不相邻的两个内角之和，本题是一个基础题，考查的知识点
14、比较简单21P，Q，R 顺次为ABC 中 BC，CA，AB 三边的中点，求证圆 ABC 在 A 点的切线与圆 PQR 在P 点的切线平行考点：两条直线平行的判定；直线与圆的位置关系。专题：证明题。分析：利用弦切角等于圆周角；三角形的中位线平行于底边；两直线平行内错角相等；内错角相等，两直线平行；证得结论解答：证明：如图：由 AD 是大圆的切线，可得：1=2由 RQBC，可得： 2=3，由 QPAB，可得： 3=4由 PE 是小圆的切线，可得：4=5由 RPAC，可得： 5=6综上可得：1=6，故 ADPE点评：本题考查圆的弦切角等于圆周角、两直线平行内错角相等、内错角相等，两直线平行22设AB
15、C 的三边 BC=4pq，CA=3p 2+q2，AB=3p 2+2pqq2，求B，并证B 为 A 及C 的等差中项考点：余弦定理；等差关系的确定。专题：综合题。分析：由 BC，CA 及 AB 的值，利用余弦定理表示出 cosB 的值，分子把第 1 和第 3 项结合利用平方差公式化简，然后分子提取 4pq，约分化简后得到其值等于 ，然后根据 B 的范围，利用特殊角的三角函数值求出 B 的度数；然后表示出角 C 减角 B，把 B 的度数代入并利用三角形的内角和定理即可得到值为角 B 减角 A，得证解答：解：由余弦定理可得：cosB= = = ，B=60，CB=（180 AB） B=60A=BA，B 是 A 与 C 的等差中项点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握等差中项的意义及证明方法，是一道中档题23 （1）求证，若方程 x3+ax2+bx+c=0 的三根可排成等比数列，则 a3c=b3（2）已知方程 x3+7x221x27=0 的三根可以排成等比数列，求三根
