《高中人教A版数学必修第2册教学用书：6.4.3 第2课时 正弦定理 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中人教A版数学必修第2册教学用书：6.4.3 第2课时 正弦定理 Word版含解析（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时正弦定理素养目标定方向素养目标学法指导1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明.(逻辑推理)2能应用正弦定理解三角形.(数学运算)3能综合利用余弦定理、正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.(数据分析)1通过研究特殊的三角形到一般的三角形，从而得到任意三角形的边角之间的数量关系，感受从特殊到一般的探究思想.2根据不同的条件选择不同的方法解三角形，特别是在已知两边及其中一边的对角解三角形时，要能正确确定解的个数并求解.3用正弦定理解决问题时，注意数形结合思想的应用.4在解三角形中灵活地选择定理进行边角互化.必备知识探新知知识点1正弦定理
2、的表示文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦_的比相等符号语言_知识点2正弦定理的常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆的半径).(2)sin A，sin B，sin C(R为ABC外接圆的半径).(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即abcsin Asin Bsin C.(4).(5)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B.微提醒利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.关键能
3、力攻重难题型探究题型一已知两角和一边解三角形典例1在ABC中，已知A60，B45，c2，求ABC中其他边与角的大小.分析已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边.解析在ABC中，C180(AB)180(6045)75.sin 75sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30.根据正弦定理，得a(1)3，b2(1).归纳提升已知任意两角和一边，解三角形的步骤：(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角.(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边.已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解.【对点练习】(1)(2019大同高二
4、检测)在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于(A)A4B4C4D(2)在ABC中，B45，C60，c1，则最短边的边长等于_.解析(1)A180BC45，由正弦定理得，b4.(2)由题意，因为B45，C60，所以A180BC75，最短边为b，由正弦定理，得b.题型二已知两边和其中一边的对角解三角形典例2已知在ABC中，a2，b6，A30，求ABC中其他边与角的大小.分析在ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定.解析A为锐角，bsin A6sin 303ab，本题有两解，sin B，B60或120，当B60时，C90，c4；当B120时，C30，c
5、2；综上，B60，C90，c4或B120，C30，c2.归纳提升已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况.基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值.判断解的情况.(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角.(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度.【对点练习】(1)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b2，sinBcosB，则角A的大小为_.(2)在ABC中，若a，b，B，则A_或_.解析(1)由sin Bcos B，得sin(B)1，由B(0，)，得B，由正弦定理，得sin A，又ab，AB，A或.题型三判断
6、三角形的形状典例3在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状.分析解析方法一：(角化边)因为(accos B)sin B(bccos A)sin A，所以(ac)b(bc)a，整理得：b2(a2c2b2)a2(b2c2a2)，即(a2b2)(a2b2c2)0，所以a2b2c20或a2b2所以a2b2c2或ab.故ABC为直角三角形或等腰三角形.方法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A，即sin Ccos Bsin Bsin Ccos Asin A.因为si
7、n C0，所以sin Bcos Bsin Acos A.所以sin 2Bsin 2A.所以2B2A或2B2A，即AB或AB.所以ABC是等腰三角形或直角三角形.归纳提升在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合；另一个方向是角，走的是三角变换途径.由于高考重点考查的是三角变换，故解决此类问题时，可先考虑把边转化成角，若用此种方法不好解决问题，再考虑把角转化成边，但计算量常较大.【对点练习】在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状.解析法一：根据正弦定理，得，sin2Asi
8、n2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形.法二：根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0又90BC90，BC0，BC，ABC是等腰直角三角形.题型四正、余弦定理的简单综合典例4设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；
9、(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值.分析(1)对条件用正弦定理可转化统一成角的关系，进而求出B.(2)由正弦定理可知c2a，再用余弦定理列方程可求得a，c.解析(1)bsin Aacos B，由正弦定理得sin Bsin Asin Acos B.在ABC中，sin A0，即得tan B，B.(2)sin C2sin A，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos B，即9a24a22a2acos ，解得a，c2a2.【对点练习】(2019山东临沂高二检测)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求角B的大
10、小；(2)若A75，b2，求a，c.解析(1)由正弦定理得a2c2acb2由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45.(2)sin Asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故由正弦定理得ab1.由已知得，C180457560，cb2.易错警示忽视三角形中大边对大角典例5在ABC中，已知a2，b2，A60，则B_30_.错解由正弦定理，得sin Bb2.因为0B180，所以B30或B150.错因分析本题最易犯的错误就是：(1)由sin B得B30或150，而忽视b2a2，从而易出错.(2)在求出角的正弦值后，要根据“大边对大角”和“内角和定理”讨论角的取舍.正解由正弦定理，得sin Bb2.因为0B180，所以B30或B150.因为ba，根据三角形中大边对大角可知BA，所以B150不符合条件，应舍去，所以B30.【对点练习】已知ABC中，a，b，B60，那么角A等于(C)A135B90C45D30解析在ABC中，由正弦定理，得，即，sin A.ab，AB，A45.
