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1、7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义素养目标定方向素养目标学法指导1掌握复数代数形式的加、减运算法则，并会简单应用.(数学运算)2了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(直观想象)1类比向量加、减的坐标运算，感受和把握复数的加、减运算.2类比向量运算的平行四边形法则与三角形法则，感受和把握复数加、减法的几何意义.必备知识探新知知识点1复数的加、减法运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2_(ac)(bd)i_，z1z2_(ac)(bd)i_.知识点2复数加法的运算律(1)交换律：_z1z2z2z1_；(2)结合律：(z1z2)z3_z1(z2z3
2、)_.知识点3复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1z2对应的向量是_，与z1z2对应的向量是_.知识解读对复数的加法、减法运算应注意以下几点(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；特殊情形：当复数的虚部为零时，与实部的加法、减法法则一致.(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数.关键能力攻重难题型探究题型一复数代数表示式的加、减法运算典例1(1)计算：(23i)(42i)_2i_.(2)已
3、知z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实数，若z1z253i，则|z1z2|_.分析直接运用复数的加减运算法则进行计算.解析(1)(23i)(42i)(24)(32)i2i.(2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y)(2xy)(y2x)(x3y)i(5x5y)(3x4y)i53i，所以解得x1，y0，所以z132i，z22i，则z1z21i，所以|z1z2|.归纳提升复数加、减运算的法则(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部.(2)复数
4、的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.【对点练习】(1)i(15i)(23i)(i1)_10i_.(2)已知复数z1a23i，z22aa2i，若z1z2是纯虚数，则实数a_3_.解析(1)i(15i)(23i)(i1)i15i23ii110i.(2)由条件知z1z2a22a3(a21)i，又z1z2是纯虚数，所以解得a3题型二复数加减法及复数模的几何意义典例2如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,32i，24i，试求(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)对角线所表示的复数及的长度.
5、分析要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论.解析(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2).所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)对角线，它所对应的复数z(32i)(24i)16i，|.归纳提升利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.【对点练习】已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数52i，45i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的
6、长.解析如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM，所以zDzAzCzB17i，因为：zCzA2(52i)72i，所以|72i|，因为：zDzB(17i)(45i)512i，所以|512i|13故点D对应的复数是17i，AC与BD的长分别是和13题型三复数加法、减法几何意义的应用典例3(1)如果复数z满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小值是(A)A1BC2D(2)若复数z满足|zi|1，求|z|的最大值和最小值.分析涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.解析(1)设复数i，i，1i在复平面内对应的点分
7、别为Z1，Z2，Z3，因为|zi|zi|2，|Z1Z2|2，所以点Z的集合为线段Z1Z2问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|1所以|zi1|min1(2)如图所示，|2所以|z|max213，|z|min211归纳提升两个复数差的模的几何意义(1)|zz0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.(2)|zz0|r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.【对点练习】若本例(2)条件改为已知|z|1且zC，求|z22i|(i为虚数单位)的最小值.解析因为|z|1且zC，作图如图：所以|z22i|的几何意义为单位圆上
8、的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z22i|的最小值为|OP|121易错警示典例4A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1z2|z1z2|，则三角形AOB一定是(B)A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形错解A错因分析向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zBzA(终点对应的复数减去起点对应的复数).正解根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形.【对点练习】ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点是ABC的(A)A外心B内心C重心D垂心解析由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到ABC的顶点A、B、C距离相等，P为ABC的外心.
