点对称结构的概念及受力分析

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1、第 16 卷 第 3 期 重 庆 交 通 学 院 学 报 1997年 9月Vol . 1 6 No . 3 JOURNAL OF CHON GQ IN G J IAO TON G INSTITU TE Sep 1 1 9 9 7点 对 称 结 构 的 概 念 及 受 力 分 析 X杨 德 灿(武 汉 交 通 科 技 大 学 430063)摘 要提 出 了 点 对 称 结 构 的 概 念 . 通 过 研 究 这 种 特 殊 结 构 的 对 称 特 性 , 发 现 点 对 称 结 构 与 轴 对 称 结构 一 样 也 可 简 化 成 半 边 结 构 , 使 求 解 简 化 . 但 两 半 边 结

2、构 的 边 界 条 件 有 本 质 不 同 .关 键 词 : 点 对 称 结 构 ; 半 边 结 构 ; 边 界 条 件0 问 题 的 提 出如 图 1 所 示 的 平 面 杆 系 结 构 有 一 对 称 轴 , 结 构 的 受 力 分 析 可 利 用 其 对 称 性 取 半 边 结 构 计算 . 正 对 称 荷 载 作 用 时 半 边 结 构 如 图 2 (a) 所 示 ; 反 对 称 荷 载 作 用 时 半 边 结 构 如 图 2 (b)所 示 . 这 就 是 一 般 结 构 力 学 1 ,2 论 述 结 构 对 称 性 时 所 涉 及 到 的 结 构 . 这 种 结 构 可 称 之 为

3、轴 对称 结 构 . 另 有 一 种 结 构 , 它 也 具 有 某 种 特 定 的 对 称 关 系 , 如 图 3 (a) 所 示 . 它 的 受 力 分 析是 否 也 可 简 化 呢 ? 这 就 是 笔 者 要 研 究 的 问 题 .图 1 轴 对 称 结 构 (a) 对 称 荷 载 作 用 时 (b) 反 对 称 荷 载 作 用 时图 2 轴 对 称 结 构 的 半 边 结 构1 结 构 理 论 的 两 个 重 要 性 质研 究 将 涉 及 到 以 下 两 个 杆 件 体 系 结 构 理 论 的 重 要 性 质 .111 解 的 唯 一 性杆 件 体 系 结 构 在 一 定 荷 载 效

4、应 作 用 下 , 满 足 平 衡 条 件 , 物 理 条 件 以 及 足 够 的 边 界 条 件 下结 构 的 反 应 是 唯 一 的 .X 本 文 收 到 日 期 : 1996210214. 杨 德 灿 , 男 , 1964 年 生 , 讲 师 .112 解 的 线 性 性对 于 杆 件 体 系 结 构 , 如 果 结 构 的 位 移 足 够 小 , 结 构 又 处 于 弹 性 工 作 阶 段 , 那 么 它 的 基 本方 程 将 是 线 性 微 分 方 程 . 它 的 解 具 有 线 性 性 质 , 即 结 构 的 反 应 与 结 构 所 受 的 荷 载 效 应 成 正比 ; 反 向 的

5、 荷 载 效 应 将 产 生 反 向 的 结 构 反 应 ; 不 同 的 荷 载 效 应 产 生 的 结 构 反 应 可 以 叠 加 .2 点 对 称 结 构 的 定 义如 果 一 平 面 杆 系 结 构 绕 通 过 结 构 平 面 内 某 一 点 且 垂 直 于 该 平 面 的 轴 旋 转 180 以 后 , 与旋 转 前 的 结 构 完 全 相 同 , 那 么 就 称 此 结 构 是 关 于 这 一 点 的 点 对 称 结 构 , 称 这 一 点 为 对 称 点 .如 图 3 (a) 所 示 的 结 构 , 0 点 为 对 称 点 .(a) 点 对 称 结 构 (b) M 图 (全 部 荷

6、 载 ) 单 位 PL图 3如 果 作 用 在 点 对 称 结 构 上 的 荷 载 绕 对 称 点 旋 转 180 以 后 与 旋 转 前 的 荷 载 完 全 吻 合 (包括 作 用 点 , 大 小 , 方 向 ) , 则 称 此 荷 载 为 点 对 称 荷 载 . 如 图 4 (a) 所 示 结 构 上 的 荷 载 . 反之 , 如 果 旋 转 后 的 荷 载 与 旋 转 前 的 荷 载 正 好 相 反 (大 小 及 作 用 点 相 同 , 方 向 相 反 ) , 则 称 此荷 载 为 点 反 对 称 荷 载 . 如 图 4 (b) 所 示 结 构 上 的 荷 载 . 按 照 同 样 的 原

7、 则 定 义 点 对 称 和 点 反对 称 的 内 力 , 位 移 .(a) 点 对 称 荷 载 (b) 点 反 对 称 荷 载图 43 点 对 称 结 构 的 特 性对 于 点 对 称 结 构 , 有 这 样 的 结 论 , 在 点 对 称 荷 载 作 用 下 , 产 生 点 对 称 的 内 力 、 位 移 ; 在点 反 对 称 荷 载 作 用 下 , 产 生 点 反 对 称 的 内 力 、 位 移 . 证 明 如 下 :56第 3 期 杨 德 灿 : 点 对 称 结 构 的 概 念 及 受 力 分 析因 为 点 对 称 结 构 与 点 对 称 荷 载 一 起 绕 对 称 点 (在 结 构

8、平 面 内 ) 旋 转 180 以 后 , 与 旋 转前 的 结 构 及 荷 载 完 全 相 同 . 根 据 解 的 唯 一 性 可 得 , 旋 转 前 后 的 内 力 、 位 移 必 须 是 相 同 的 . 所以 , 点 对 称 结 构 在 点 对 称 荷 载 作 用 下 , 内 力 、 位 移 也 是 点 对 称 的 . 而 点 对 称 结 构 与 点 反 对 称荷 载 一 起 旋 转 以 后 , 结 构 与 旋 转 前 一 样 , 但 荷 载 与 旋 转 前 正 好 相 反 . 由 于 结 构 是 线 性 的 , 根据 解 的 线 性 性 质 , 相 反 的 荷 载 产 生 相 反 的

9、内 力 , 相 反 的 位 移 . 所 以 , 旋 转 后 的 内 力 、 位 移 与旋 转 前 也 必 须 正 好 相 反 . 这 样 就 证 明 了 点 对 称 结 构 在 点 反 对 称 荷 载 作 用 下 所 产 生 的 内 力 、 位移 也 是 点 反 对 称 的 .作 为 上 面 结 论 的 推 论 有 : 点 对 称 荷 载 在 对 称 点 截 面 只 产 生 点 对 称 的 内 力 、 位 移 , 点 反 对称 的 内 力 、 位 移 为 零 . 点 反 对 称 荷 载 在 对 称 点 截 面 只 产 生 点 反 对 称 的 内 力 、 位 移 , 点 对 称 的内 力 、 位

10、 移 为 零 .根 据 点 对 称 性 原 则 , 在 对 称 点 截 面 点 对 称 的 量 是 剪 力 , 轴 力 , 转 角 ; 点 反 对 称 的 量 是 弯矩 , 线 位 移 (平 面 内 包 括 两 个 分 量 ) .4 点 对 称 结 构 的 受 力 分 析由 上 面 分 析 点 对 称 结 构 的 特 性 可 知 , 点 对 称 结 构 在 点 对 称 荷 载 作 用 下 , 对 称 点 截 面 的 弯矩 , 线 位 移 为 零 ; 在 点 反 对 称 荷 载 作 用 下 , 对 称 点 截 面 的 剪 力 , 轴 力 , 转 角 为 零 . 这 样 , 点对 称 结 构 在

11、点 对 称 荷 载 和 点 反 对 称 荷 载 作 用 下 , 均 可 取 相 应 的 半 边 结 构 计 算 . 然 后 根 据 点 对称 性 原 则 得 出 另 外 半 边 结 构 的 内 力 、 位 移 .由 于 作 用 在 点 对 称 结 构 上 的 任 意 荷 载 都 可 以 分 解 为 点 对 称 荷 载 和 点 反 对 称 荷 载 的 叠 加 ,所 以 引 进 点 对 称 结 构 的 概 念 后 , 可 更 深 刻 地 揭 示 这 种 结 构 的 受 力 特 性 , 简 化 这 种 结 构 的 求解 .作 为 例 子 来 求 解 图 3 (a) 所 示 结 构 在 图 示 荷 载

12、 作 用 下 的 弯 矩 图 (假 定 EI = 常 数 ) .图 3 (a) 的 荷 载 可 分 解 为 图 4 (a) 的 荷 载 与 图 4 (b) 的 荷 载 的 叠 加 . 图 4 (a) 是 点 对称 结 构 作 用 有 点 对 称 荷 载 . 根 据 推 论 , 对 称 点 截 面 的 点 反 对 称 的 量 弯 矩 , 线 位 移 为 零 .所 以 , 可 取 图 5 (a) 所 示 的 半 边 结 构 . 用 单 结 点 的 力 矩 分 配 法 很 快 作 出 其 弯 矩 图 . 再 按 点对 称 性 原 则 作 出 另 外 半 边 结 构 的 弯 矩 图 . 画 在 一 起

13、 如 图 6 (a) 所 示 . 图 4 (b) 是 点 对 称 结构 作 用 有 点 反 对 称 荷 载 . 由 推 论 可 得 , 对 称 点 截 面 的 剪 力 , 轴 力 , 转 角 为 零 . 半 边 结 构 如 图5 (b) 所 示 . 用 无 剪 力 分 配 法 1 ,2 可 以 很 方 便 地 画 出 弯 矩 图 . 再 根 据 点 反 对 称 性 原 则 画 出 另外 半 边 结 构 的 弯 矩 图 . 画 在 一 起 如 图 6 (b) 所 示 .(a) 点 对 称 荷 载 作 用 时 (b) 点 反 对 称 荷 载 作 用 时图 5 半 边 结 构叠 加 图 6 (a)

14、、 (b) 两 弯 矩 图 , 即 得 结 构 在 原 荷 载 (图 3 (a) ) 作 用 下 的 弯 矩 图 . 如 图 366 重 庆 交 通 学 院 学 报 第 16 卷(b) 所 示 , 结 构 当 然 与 其 他 方 法 结 果 一 致 .(a) 点 对 称 荷 载 作 用 时 (b) 点 反 对 称 荷 载 作 用 时图 6 M 图 (分 解 荷 载 ) 单 位 PL5 结 论11 点 对 称 结 构 概 念 的 提 出 , 揭 示 了 这 种 特 殊 结 构 的 结 构 特 性 .21 点 对 称 结 构 与 轴 对 称 结 构 一 样 , 也 可 巧 妙 地 简 化 成 半

15、边 结 构 , 使 求 解 简 化 .31 点 对 称 结 构 的 半 边 结 构 与 轴 对 称 结 构 的 半 边 结 构 , 根 据 对 称 性 原 则 得 出 的 对 称 点 或对 称 轴 截 面 处 的 边 界 条 件 有 本 质 的 不 同 .参 考 文 献1 龙 驭 球 , 包 世 华 主 编 . 结 构 力 学 (上 册 ) . 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 , 19812 杨 艹弗 康 , 李 家 宝 主 编 . 结 构 力 学 , (上 、 下 册 ) , (第 三 版 ) . 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 , 1983The Concept and A

16、nalysis of Point2symmetry StructuresYang Decan(Wuhan Transportation University 430063)AbstractThe concept of point2symmetry structures is proposed in this paper. Through studying thesymmetrical characteristic of these special structures , it is discovered that point2symmetry struc2tures can be simpl