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1、习题精选精讲正、余弦定理的五大命题热点正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边 )，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 (高线、角平分线、中线)及周长等基本问题例 1(2005 年全国高考江苏卷) 中， ，BC3，则 的周长为（ ）ABCABCA B C D3sin346sin43sin36sinB分析：由正弦定理，求出 b 及 c，或整体求出 bc ，则周长为 3bc 而得到结果解：由正弦定理得： ，2sini
2、sini sin()3 3cB 得 bc sinBsin( B) 故三角形的周长为：3bc ，故选(D)226i() 36sinB评注：由于本题是选择题也可取ABC 为直角三角形时，即 B ，周长应为 3 3，故排除(A)、(B)、(C)而选(D)6例 2(2005 年全国高考湖北卷) 在 ABC 中，已知 ，AC 边上的中线 BD= ，求 sinA 的值cos,34A5分析：本题关键是利用余弦定理，求出 AC 及 BC，再由正弦定理，即得 sinA解：设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且 ，设 BEx 奎 屯王 新 敞新 疆621BDE在 BDE 中利用余弦定理可得： ，
3、EDBcos22，解得 ， （舍去） 奎 屯王 新 敞新 疆xx632852137x故 BC=2，从而 ，即 奎 屯王 新 敞新 疆 又 ，28cos22 BCABAC21A630sinB故 ， 奎 屯王 新 敞新 疆13sin06470sin二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状例 3(2005 年北京春季高考题)在 中，已知 ，那么 一定是（ ）ABCCBAsincosi2ABA直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法 1：由 sin(AB)sinAcosBcosA sinB，sincosi2即 sinAcosBcosAsin B0，得 sin
4、(AB)0，得 AB故选(B)解法 2：由题意，得 cosB ，再由余弦定理，得 cosB i2sca22acb习题精选精讲 ，即 a2b 2，得 ab，故选(B)22acb评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断(如解法 1)，统一化为边，再判断(如解法 2)三、 解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题例 4(2005 年全国高考上海卷) 在 中，若 ， ， ，ABC1205AB7C则 的面积 S_ 奎 屯王 新 敞新 疆ABC分析：本题只需由余弦定理，求出边 AC，再运用面积公式 S ABACsinA 即可解决解： 由余弦定理，得 cos
5、A ，解得 AC3222549110BCC S ABACsinA ABACsinA ACh，得 hAB sinA ，故选(A)214352122四、求值问题例 5(2005 年全国高考天津卷) 在 中， 所对的边长分别为 ，B、 cba、设 满足条件 和 ，求 和 的值cba、 22abc31Btn分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理解：由余弦定理 ，因此， 2os2bcA60A在ABC 中， C=180AB=120 B.由已知条件，应用正弦定理 BCsin)12(si31解得 从而,cot2sinsi0co120si B,cot.21tanB五、正余弦定理解三角形的实
6、际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例 1 如图 1 所示，为了测河的宽度，在一岸边选定 A、B 两点，望对岸标记物C，测得 CAB=30，CBA=75 ，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC 在 AB 边上的高，而在河的一边，已测出 AB长、CAB 、CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得 ，AC=AB=120m，又sinsiACB，解得 CD=60m。1122ABCSD 点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题例 2 某舰艇
7、测得灯塔在它的东 15北的方向，此舰艇以 30 海里/小时的速度向正东前进，30 分钟后又测得灯塔在它的东 30北。若此灯塔周围 10 海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？图 1A BCD习题精选精讲解析：如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S 在东 15北的方向上；舰艇航行半小时后到达 B 点，测得 S 在东 30北的方向上。 在ABC 中，可知AB=300.5=15， ABS=150 ，ASB=15，由正弦定理得 BS=AB=15，过点 S 作SC 直线 AB，垂足为 C，则 SC=15sin30=7.5。这表明航线离灯塔的距离为 7.5 海里，而灯塔周围 10 海里内有暗礁，故
8、继续航行有触礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追击问题例 3 如图 3，甲船在 A 处，乙船在 A 处的南偏东 45方向，距 A 有 9n mile 并以 20n mile/h 的速度沿南偏西 15方向航行，若甲船以 28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少 h 能尽快追上乙船？ 解析：设用 t h，甲船能追上乙船，且在 C 处相遇。在ABC 中，AC
9、=28t，BC=20t，AB=9，设ABC= ， BAC=。=1804515=120。根据余弦定理 ，22cosABCAB， ， （4t3） （32t+9）22181090()ttt8607t=0，解得 t= ，t= （舍）34AC=28 =21 n mile，BC=20 =15 n mile。34根据正弦定理，得 ，又=120， 为锐角，=arcsin ，又15si32si 4BCA5314 ，arcsin ，531472314甲船沿南偏东 arcsin 的方向用 h 可以追上乙船。5点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC 、AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由
10、于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间 t 有关。这样根据余弦定理，可列出关于 t 的一元二次方程，解出 t 的值。五、交汇问题是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离) 、解析几何、实际问题等知识交汇例 6(2005 年全国高考卷三试题 )ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列， .43cosB（）求 cotA+cotC 的值； （）设 ，求 ac 的值.32分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等解：（）由 ,47)(1sin,43cos2B得西北南东A B C
11、3015图 2图 3ABC北4515习题精选精讲由 b2=ac 及正弦定理得 .sinsin2CAB则 1cosicosincottatiiACAC22si()si147.nn（）由 ，得 cacosB ，由B ，可得 ac2，即 b22 3B3由余弦定理 b2=a2+c22ac+cosB，得 a2+c2=b2+2accosB=5. 3,945)(22 caac易错题解析例题 1在不等边ABC 中，a 为最大边，如果 ，求 A 的取值范围。b22错解： 。则bcc2220， ，由于 cosA 在（0，180）上为减函数cosA且 909， 又A 为ABC 的内角，0A90 。辨析：错因是审题不
12、细，已知条件弱用。题设是 为最大边，而错解中只把 a 看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。a正解：由上面的解法，可得 A90 。又a 为最大边，A 60 。因此得 A 的取值范围是（60，90） 。例题 2在ABC 中，若 ，试判断ABC 的形状。abB2tn错解：由正弦定理，得 sita2即 sinicosinsisin2 0ABBAB， ，。 ， 即i ii22A2B，即 AB 。故ABC 是等腰三角形。辨析：由 ，得 2A2B 。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。sini2正解：同上得 ，2AskB或 。kZ() 或 。00AbA， ， ， 则 B2
13、故ABC 为等腰三角形或直角三角形。例题 3在ABC 中，A 60 ，b1， ，求 的值。SABC 3abcCsinisn错解：A60，b1 ， ，又 ，ABC 12c习题精选精讲 ，解得 c4。312csin60由余弦定理，得 abA21680oscos13又由正弦定理，得 。sininCB39329， 。abcABsiis142396辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由已知可得 。由正弦定理，得ca41，。 。236029RAsini abcABCRsinisn239例题 4 在ABC 中， ，C30，求 ab 的最大值。c错解：C30，AB150，B
14、 150A 。由正弦定理，得 absini()sin1506230， 26()bAsi()又 sinA1501， 。a2626462()()()故 的最大值为 。b4辨析：错因是未弄清 A 与 150A 之间的关系。这里 A 与 150A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与 sin(150A)不能同时取最大值 1，因此所得的结果也是错误的。正解：C30，AB150，B 150A 。由正弦定理，得 absini()sin506230因此 b261()si()()i7co()4s754(83)s()83Aa b 的最大值为 。习题精选精讲例题 5在ABC 中，已知 a2，b ，C15，求 A。错解：由余弦定理，得 cab215cos6482843 。c6又由正弦定理，得 siniAaCc12而 。00001835， 或辨析：由题意 ， 。因此 A150 是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条bB件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。正解：同上 ，cba621， ， sin。00083A ， 且 ， 例题 6 在ABC 中， ，判断ABC
