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1、第十六讲 圆锥曲线的方程高考在考什么1(2008 福建文、理)双曲线21(0,)xyab的两个焦点为 12,F，若 P 为其上的一点，且 12|PF，则双曲线离心率的取值范围为（B） (,3 (,3 3, 3,)2、(2008 海南、宁夏文)双曲线210xy的焦距为（ D ）A. 3 B. 4 C. 3 D. 43(2008 全国卷理)设 1a，则双曲线221()a的离心率 e的取值范围是（ B ）A (2， B (5)， C 5， D (5)，4.(2008 山东理)设椭圆 C1 的离心率为 3，焦点在 X 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值
2、等于 8，则曲线 C2 的标准方程为（ A ）（A） 342yx (B) 152yx (C) 142yx (D) 132yx5.(2008 陕西文、理) 双曲线 ab（ 0a， b）的左、右焦点分别是 2F， ，过 1F作倾斜角为 0的直线交双曲线右支于 M点，若 2F垂直于 x轴，则双曲线的离心率为（ B ）A 6B 3C 2D 36.(2008 上海文)设 p是椭圆 156xy上的点若 12， 是椭圆的两个焦点，则12PF等于（D）A4 B5 C8 D10 7(2008 天津文)设椭圆21(0)xymnn，的右焦点与抛物线 28yx的焦点相同，离心率为 12，则此椭圆的方程为（ B ）A
3、6xyB216xyC21486xyD21648xy8、(2008 重庆理)已知双曲线 2ab（a0,b0）的一条渐近线为 y=kx(k0),离心率 e= 5k,则双曲线方程为 (C )（A）2xa 4y=1 (B) 215xy (C)214xy(D)215xb9. (2008 湖南理)已知椭圆21xyab（ab0）的右焦点为 F,右准线为 l,离心率 e=5.过顶点 A(0,b)作 AMl,垂足为 M，则直线 FM 的斜率等于 12 .10. (2008 江苏)在平面直角坐标系中，椭圆2xyab1( 0)的焦距为 2，以 O 为圆心， a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率
4、 e= 11(2008 江西文)已知双曲线21(0,)xyb的两条渐近线方程为 3yx，若顶点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为 2314xy12、（2008 安徽文）设椭圆2:1(0)xyCab其相应于焦点 (2,0)F的准线方程为 4x.（）求椭圆 的方程；（）已知过点 1(2,0)F倾斜角为 的直线交椭圆 C于 ,AB两点，求证：ABCOS;（）过点 1(,)作两条互相垂直的直线分别交椭圆 于 ,和 ,DE,求DE的最小值.解 ：（1）由题意得：22844caab 椭圆 C的方程为218xy(2)方法一：由（1）知 1(2,0)F是椭圆 的左焦点，离心率 2e设 l为椭圆的左准线。则
5、:4lx作 111,AB于， 与x轴交于点 H(如图) 点 A 在椭圆上112F 12(cos)FHA12cosA同理 BF1 224coscoss 。方法二：当 2时，记 tank，则 :()ABykx将其代入方程 28xy 得 22218(1)0k设 1(,)(,)AyB ，则 ,x是此二次方程的两个根.2212()kkx22221212111()()()()4Byxkxx22834kk .(1)2tan,k 代入（1）式得 cosAB .(2)当 时， 2AB 仍满足（2）式。24cos（3）设直线 的倾斜角为 ，由于 ,DEAB由（2）可得2sAB ， 4sin222411coinco
6、sin4DE 当 34于时， ABDE取得最小值 63高考要考什么【热点透析】一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：P| |PF 1|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即P| |PF 1|-|PF2|=2a, (2a1 时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。 1.椭圆：21xyab（ab0）或21yxab（ab0）（其中，a 2=b2+c2） 2.双曲线： 2（a0, b0）或2（a0, b0）（其中，c 2=a2+
7、b2）3.抛物线：y 2=2px（p0），x 2=2py（p0）三、圆锥曲线的性质 知识要点：1.椭圆：21yab（ab0） （1）范围：|x|a，|y|b （2）顶点：(a,0)，(0,b) （3）焦点：(c,0) （4）离心率：e= (0,1) （5）准线：2axc2.双曲线：21xyab（a0, b0） （1）范围：|x|a, yR （2）顶点：(a,0) （3）焦点：(c,0) （4）离心率： ce(1,+) （5）准线：2axc（6）渐近线：byxa3.抛物线：y 2=2px(p0) （1）范围：x0, yR （2）顶点：（0,0） （3）焦点：（ 2p,0）（4）离心率：e=1 （
8、5）准线：x=- 2p主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）。突破重难点【例 1】若 F1、 F2为双曲线 12byax的左、右焦点， O 为坐标原点，点 P 在双曲线的左支上，点 M 在双曲线的右准线上，且满足： )(,11 OMOP0(，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 2D3解：由 PMOF1知四边形 F1OMP 是平行四边形，又 1(OFP)M知 OP 平分 F1OM，即 F1OMP 是菱形，设| OF1|=c，则| PF1|=c. 又| PF2|-|PF1|=2a， | PF2|=2a+c，由双曲线的第二定义知 ece,
9、且 e1， e=2，故选 C.【例 2】（06 上海春）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 150yx，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y轴为对称轴、 764,M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 )0,8(D. 观测点 ),(),4(BA、 同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x轴上方时，观测点 、 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解：（1）设曲线方程为 7642ay， 由题意可知，7640a. 1. 曲线方程为 72xy.
10、（2）设变轨点为 ),(C，根据题意可知)2(,76411502xy得 03，或 49（不合题意，舍去）.y. 得 6x或 （不合题意，舍去）. C点的坐标为 ),(， 4|,52|BCA.答：当观测点 B、 测得 C、 距离分别为 、 时，应向航天器发出指令. 【例 3】如图 1，已知 A、 B、 C 是长轴为 4 的椭圆上三点，点 A 是长轴的一个顶点， BC过椭圆中心 O，且 0，。（1）建立适当的坐标系，求椭圆方程；（2）如果椭圆上两点 P、 Q 使直线 CP、 CQ 与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形，是否总存在实数使 AB？请给出证明。解：（1）以 O 为原点， OA 所在
11、的直线为 x 轴建立如图直角坐标系，则 A（2，0），椭圆方程可设为21()4xyb。而 O 为椭圆中心，由对称性知 |OC|=|OB|图 1又 0ACB，所以 AC BC又 2，所以 |OC| |AC|，所以 AOC 为等腰直角三角形，所以点 C 坐标为（1，1）。将（1，1）代入椭圆方程得 243b，则椭圆方程为234xy。（2）由直线 CP、 CQ 与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形，设直线 CP 的斜率为 k，则直线 CQ 的斜率为 k，直线 CP 的方程为 y-1=k(x-1)，直线 CQ 的方程为 y-1=-k(x-1)。由椭圆方程与直线 CP 的方程联立，消去 y 得(1
12、+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0因为 C（1，1）在椭圆上，所以 x1 是方程的一个根，于是236P同理236Q这样， PQykx， 又 B（1，1），所以 13ABk，即 kAB=kPQ。所以 PQAB ，存在实数 使 P。【例 4】如图，直线 l1和 l2相交于点 M， l1 l2，点 N l1以 A、 B 为端点的曲线段C 上的任一点到 l2的距离与到点 N 的距离相等若 AMN 为锐角三角形，|AM|= 17，| AN|=3，且| BN|=6建立适当的坐标系，求曲线 C 的方程解法一：如图建立坐标系，以 l1为 x 轴， MN 的垂直平分线为 y 轴，点 O为坐标
13、原点依题意知：曲线段 C 是以点 N 为焦点，以 l2为准线的抛线段的一段，其中 A、 B 分别为 C 的端点设曲线段 C 的方程为y2=2px (p0)，( xA x xB， y0)，其中 xA， xB分别为 A， B 的横坐标， P=|MN|所以 M ( ，0)， N ( 2P，0) 由 | AM|= 17，| AN|=3 得(xA 2P)22 PxA=17， (xA )22 PxA=9 由、两式联立解得 xA= P4，再将其代入式并由 p0 解得14Axp或 2A因为 AMN 是锐角三角形，所以 2P xA，故舍去 2Axp P=4， xA=1由点 B 在曲线段 C 上，得 xB=|BN
14、| =4综上得曲线段 C 的方程为 y2=8x (1 x4， y0)解法二：如图建立坐标系，分别以 l1、 l2为 x、 y 轴， M 为坐标原点作 AE l1， AD l2， BF l2，垂足分别为 E、 D、 F设 A (xA， yA)、 B (xB， yB)、 N (xN，0)依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，yA=|DM|= 2DM=2 ，由于 AMN 为锐角三角形，故有xN=|AE|+|EN|=4=|ME|+ 2AE=4XB=|BF|=|BN|=6 设点 P (x， y)是曲线段 C 上任一点，则由题意知 P 属于集合(x， y)|(x xN)2+y2=x2， xA x xB， y0 故曲线段 C 的方程y2=8(x 2)(3 x6， y0) 第十七讲 圆锥曲线的定义、性质和方程 (二)【例 5】已知椭圆 )0(12bayx的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点M 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1，向量 与 OM是共线向量。（1）求椭圆的离心率 e；（2）设 Q 是椭圆上任意一点， F 1、F 2分别是左、右焦点，求
