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1、第十六章 多元函数微分1 偏导数与全微分的概念1求下列函数的偏导数：(1) ；22ln()uxy(2) ；cos(3) ；artnxuy(4) ；(5) ；sin()xyue(6) .2设 221sin, 0,(,)0, .yxyfx考察函数在(0,0)点的偏导数.3证明函数 在(0,0)点连续但偏导数不存在 .2 uxy4求下列函数的全微分：(1) ；22z(2) .yzxue5求下列函数在给定点的全微分：(1) 在点(1,0) 和(0,1) ； 2xy(2 ) 在点(0,1)和(1,1)；ln()u(3) 在点(1,1,1) ；xy(4) 在点（0，1）.(1)arcsinxuy6考察函数
2、 在(0,0)点的可微性，其中(,)fxy221sin, 0,(,)0, .xyxyf7证明函数 22, 0,(,) 0, .xyf在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。8证明函数 2221()sin, 0,(,) 0, .xyxyf的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而 在原点f(0,0)可微。9设 22, 0,(,) 0.xyf证明 和 在(0,0)点连续.fxy10设 2()21, 0,(,) 0,.xyefxy证明 在(0,0)点可微，并求 .(,)fxy()df11设 322, 0,(,) 0.xyfy(1) 是通过原点的任意可微曲
3、线（即 时，(),xtyt 2()0;xyt、 可微）.求证 可微 .2()0ty(),fxty(2) 在(0,0)不可微.(,)fxy12设 很小，利用全微分推出下列各式的近似公式：(1) (1);mnxy(2) .arct13设 在矩形： 内可微，且全微分 恒为零，问(,)ufxy,axbcyddu在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论.(,)fxy14设 在 存在， 在 连续，求证 在 可微.f0(,)xyf0(,)xy(,)fxy0,)15求下列函数的所有二阶偏导数：(1) ；2lnuxy(2) ；(3) ；si()cos()xyxy(3) .yue16求下列函数指定阶的偏导数：(1)
4、 ,求 ；33sinixyx63uy(2) ，求所有三阶偏导数；arct1u(3) ,求 ， ；2sin()xy3ux3y(4) ,求 ；xyzuepqrz(5) ，求 ；xy()mnuxy(6) ,求 .ln()uabnm17验证下列函数满足.20uxy(1) ；2ln()uxy(2) ；(3) ；cosxey(4) .artnu18设函数 ，证明()xy.22uuxyx19设 在点 的某邻域内存在且在点 可微，则有 ,xyf0(,)0(,)y.0(,)xyyxff2 复合函数与隐函数微分法1求下列函数的所有二阶偏导数：(1) ；(,)ufaxby(2) ；(3) ；2(,)fxy(4) ；
5、,ufz(5) ；22()fxy(6) .,uf2设 ，其中 是可微函数，验证2()yzfxf.21zzxy3设 ， 为常数，函数 二阶可导， 。1()rvgtcg22rxyz证明 .2221vxyzt4若函数 对任意正实数 满足关系(,)f，(,)(,)nftxyztfxyz则称 为 次齐次函数.设 可微，试证明 为 次齐次函数的充(,)fxyzn (,)fn要条件是.(,)ffxyznxyz5验证下列各式：(1) ,则 ；2()uxy0uxy(2) ,则 ；2()u(3) ,则 ；()()uxyxy2220xy(4) ,则 .()222uu6设 可微，在极坐标变换 ，,ufxycosxrs
6、inyr下，证明.2222()()zzxyuv这时称 是一个形式不变量.22()zxy8设函数 满足拉普拉斯方程(,)uf，20uxy证明在下列变换下形状保持不变，即仍有 .2st(1) , ；2sxt2ty(2) ；cosinset(3) 满足 .这组方程称为柯西黎曼方程 .(,)(,)xty,ts9作自变量的变换，取 为新自变量：(1) ,变换方程 ；2,xy0zyx(2) ,变换方程 .,zuyz10作自变量和因变量的变换，取 为新的自变量， 为新的因变量：,v(,)wuv(1) 设 ，变换方程,yzuxvwx；2220zy(2) 设 ，变换方程,xuvxzyy.2zyx11求下列方程所
7、确定的函数 的一阶和二阶偏导数：(,)fx(1) ；20xyxez(2) ；yz(3) ；xyz(4) .22450xz12求由下列方程所确定的函数的全微分 ；dz(1) ；(,)zfy(2) ；0Fxzx(3) ；22(,)fy(4) .,)(xgz13设 由方程(,)zxy22()zyfy所确定，证明 。22()zxz14设 ，其中 为由方程 所确定的隐函数，求2zxy()f221xy和 .dx215设 ，其中 为由方程 所确定的隐函22uxyz(,)fxy33xyzx数，求 ， .216求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数：(1） 求 ；22 ,xyzax,dyzx(2) 求 ；20,
8、uvy,uvy(3) 求 ；23,xyuv,x(4) 求 .22,1zxy22,uy17下列方程组定义 为 的函数，求 ， .z,xzxy(1) (2) cos,in;xyz23,.uvyz3 几何应用1求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“(1) ,在点 ；2 2sin,sico,sxatybtzt4(2) ,在点(1,-1,2)；239,3zxy(3) ,在点(1,-2,1)；226,0xyzxyz(4) ,在点 .2cos3in1cos3ttt22求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程：(1) ，在点（1,1,2） ；20xzye(2) 在点 ；221abc(,)3abc(3)
9、 在点(2,1,12)；4zxy(4) 在点 .cos,in,uvzav0(,)Puv3证明曲线 在锥面 的母线相交成同一cs,in,tttxeyezae22xyz角度.4求平面曲线 上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标2/3/2/3(0)a轴所截取的线段等长.5求曲面 的切平面，使它平行于平面 .221xyz 460xyz6证明：曲面 的切平面与某一定直线平行，其中 为常数.(,)0Fab,ab7证明曲面 的每一切平面都通过原点.xyze8求两曲面(,)0,(,)0Gz的交线在 平面上的投影曲线的切线方程.Oxy4 方向导数1设 ，求 在点 沿到点 的方向导数.23(,)fxyzzf0(
10、1,)P(2,1)l2求函数 在点 处沿到点 的方向 上的方向导数.u(5,1)A9,4BAB3求 ：()0,xyl(1) ， ， 与 轴正向的夹角为 ；2nu0(,)(1,xylx60(2) , , 与向量 同向.xyue0()(1l(1,)4设函数 在 可微，单位向量 ， ，,f0,y1(,)2l21(,)l， ，确定 使得01(,)fxyl02(,)fxll.0(,)752fxyl5设 在 可微， 在 指向 的方向导数是 1，指向原点的f0(2,)P(,)f0P1(,)方向导数是3，试回答：(1) 指向 的方向导数是多少？2(,1)(2) 指向 的方向导数是多少？35 泰勒公式1写出下列
11、函数在指定点的泰勒公式：(1) ，在(1,-2)点.22(,)63fxyxy(2) ，在(-1,1)点.42求函数 在(1,1)点邻域的 阶带拉格朗日余项的泰勒公式 .(,)xfyn3求函数 在(1,-1)点邻域的二阶泰勒公式，并写出拉格朗日余项.2(,)fx4求下列函数在 点邻域的四阶泰勒公式：0,(1) ；2(,)sin()fxyy(2) ；l1xe(3) ;2(,)fyy(4) 。cosxe5证明泰勒公式的唯一性：若 ，0()0ninjijAxy()其中 .求证 （ 为非负整数， ） ，并利用唯一性求2xyij, ,1ij带拉格朗日余项的 阶泰勒展开式.(,)ln(1)f n6通过对 用
12、中值定理，证明存在 ，使,sincofxyy(0,).3sis46367设 在区域 内有偏导数存在，且 .证明 在(,)fxyD(,)(,)xyffx(,)fxyD为常数.8若 是很小的量，导出下列函数准确到二次项的近似公式：,(1) ； (2) .cosxy 1arctnxy9设函数 有直到 阶连续偏导数，试证 的 阶导数(,)fn(),)utfahtbkn.() ,nuthkfktxy10设 为 次齐次函数，证明(,)fxyn .()(1)mkfnxy()mf11设 ，其中 为常数，在包含原点的某邻域内， 有 阶连(,)fxyab,aq续导数.求证：在(0,0)点邻域的泰勒公式是.()100(,)()(,)!kqjjkjkqjfCxbyRxy
