空间位置关系与证明(教师版)

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1、七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载1 111ABCDD CBA本资 料来源于七彩教育网http:/专题 22 空间位置关系与证明高考在考什么【考题回放】1 （浙江）若 是两条异面直线 外的任意一点，则（B ）Plm，A过点 有且仅有一条直线与 都平行，B过点 有且仅有一条直线与 都垂直，C过点 有且仅有一条直线与 都相交l，D过点 有且仅有一条直线与 都异面，2 （06 湖南）如图，过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1平行的直线共有( D )A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条3 （湖北

2、）平面 外有两条直线 和 ，如果 和 在平面 内的射影分别是 和 ，mnnmn给出下列四个命题： ；mn ； 与 相交 与 相交或重合； n 与 平行 与 平行或重合其中不正确的命题个数是（）1 2 3 44.（湖北）关于直线 、 与平面 、 ，有下列四个命题：（D ）mn 且 ，则 ； 且 ，则 ；/,n/ nm,nm 且 ，则 ； 且 ，则 ./ /其中真命题的序号是：A. 、 B. 、 C. 、 D. 、5在 正 方 形 中 ， 过 对 角 线 的 一 个 平 面 交 于 E， 交 于 F， 则 ( )DCBABAC 四边形 一定是平行四边形EF 四边形 有可能是正方形 四边形 在底面

3、ABCD 内的投影一定是正方形 四边形 有可能垂直于平面 以上结论正确的为 。 （写出所有正确结论的编号）6 （上海）在 平 面 上 ， 两 条 直 线 的 位 置 关 系 有 相 交 、 平 行 、 重 合 三 种 已 知 是，两 个 相 交 平 面 ， 空 间 两 条 直 线 在 上 的 射 影 是 直 线 ， 在 上 的 射 影 是12l， 12s， 12l，直 线 用 与 ， 与 的 位 置 关 系 ， 写 出 一 个 总 能 确 定 与 是 异12t， 1s2t面 直 线 的 充 分 条件： ，并且 与 相交（ ，并且 与 相交） 21/s1t2/1t21s2 高考要考什么七彩教育网

4、 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载一线与线的位置关系:平行、相交、异面；线与面的位置关系:平行、相交、线在面内；面与面的位置关系:平行、相交；二转化思想：；线 线 平 行 线 面 平 行 面 面 平 行 ,线 线 线 面 面 面高考将考什么【范例 1】如图，在四棱锥 中， 底面 ，PABCDABCD，60ABDC中 PABC， 是 的中点EP（）证明 ；E（）证明 平面 ；（）求二面角 的大小（）证明：在四棱锥 中，ABD因 底面 ， 平面 ，故PACCPACD， 平面 D中 PA而 平面 ， EE（）证明：由 ， ，可得 60C是 的中点， A由（）知， ，

5、且 ，所以 平面 CDED而 平面 ， PDEP底面 在底面 内的射影是 ， ， A B中BABAP又 ，综上得 平面 （）解法一：过点 作 ，垂足为 ，连结 则（）知， 平面AMDEME， 在平面 内的射影是 ，则 PCDPCEPD因此 是二面角 的平面角AE由已知，得 设 ，30a可得 22123aAa中在 中， ， ，DPRt MD PD 则 2713aA在 中， EMRt 14sinAE解法二：由题设 底面 ， 平面 ，则平面 平面 ，交线PBCDPAPDAC为 ADBPEABCDE七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载过点 作 ，垂足为 ，故

6、平面 过点 作 ，垂足为CFADFCPADFMPD，连结 ，故 因此 是二面角 的平面角MPMC由已知，可得 ，设 ，30a可得 22136Pa a中， FDA FDP于是， 376142aM在 中， CFRt tan714aCFM所以二面角 的大小是 APDarctn所以二面角 的大小是 Csi4变式：如图，在五面体 中，点 是矩形 的对角线的交点，面 是等BEFOABCDCDE边三角形，棱 /12（1）证明 /平面 ；FOD（2）设 ，证明 平面 3C证明：（）取 CD 中点 M，连结 OM.在矩形 ABCD 中， ，又 ，则 ，1/2B1/2EFC/OM连结 EM，于是四边形 EFOM

7、为平行四边形. E又 平面 CDE， EM 平面 CDE， FO平面 CDEFO（）证明：连结 FM，由（）和已知条件，在等边CDE 中，且 .,CDEC312DBF因此平行四边形 EFOM 为菱形，从而 EOFM 而 FMCD=M，CD平面 EOM，从而 CDEO. 而 ，所以 EO平面 CDF. FMC【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。【范例 2】如图，在六面体 中，四边形 是边长为1ABDABCD2 的正方形，四边形 是边长为 1 的正方形， 平面1C1， 平面 ， 1ABCD12A BCD1

8、1BCMABCDPEFM七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载（）求证： 与 共面， 与 共面1AC1BD（）求证：平面 平面 ；1（）求二面角 的大小（用反三角函数值表示） 证明：以 为原点，以 所在直线分别为 轴，D1ACD中 x轴， 轴建立空间直角坐标系 如图，yzxyz则有 1111(20)()(02)()AB中中（）证明： 1 1(0)(20)(0)(2)CDB中112AB中与 平行， 与 平行， 于是 与 共面， 与 共面1C1D（）证明： ，(02)0A中，(2)DB中， 1C 与 是平面 内的两条相交直线1BD平面 A又平面 过 1C平面

9、 平面 1BD（）解： 1 1(02)(2)(02)AC中设 为平面 的法向量，(xyz中n1， 11 11Bxyzn于是 ，取 ，则 ， 0yz12(0)中A BCD1A1Bxyz七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载设 为平面 的法向量，22()xyz中m1BC， 10B 120yzm于是 ，取 ，则 ， 20x2z2y()中1cos5中nm二面角 的大小为 1ABC1arcos5解法 2（综合法）：（）证明： 平面 ， 平面 1D 1A1DABC， ，平面 平1 面 ABC于是 ， 1 1设 分别为 的中点，连结 ，EF中D中 1EFAC中有 11

10、AD ，C 于是 1EF由 ，得 ，DAC故 ， 与 共面1A 1过点 作 平面 于点 ，BOBDO则 ，连结 ，11ECF中 EF中于是 ， ， A 1 ， 11BD O， C FC所以点 在 上，故 与 共面1B（）证明： 平面 ， ，D A1DAC A B CD11BCDMOEF七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载又 （正方形的对角线互相垂直） ，BDAC与 是平面 内的两条相交直线，11BD平面 又平面 过 ， 平面 平面 1A 1AC1BD（）解： 直线 是直线 在平面 上的射影， ， DBACB根据三垂线定理，有 1过点 在平面 内作 于

11、，连结 ，A1AMMO中则 平面 ，1BC于是 ，1BO中所以， 是二面角 的一个平面角A1根据勾股定理，有 1156CB中，有 ， ， ， 1OMB 123O2M103A103CM， ，22cos 5AC arcos5C二面角 的大小为 1B1arcos变式（07 江苏）如图，已知 是棱长为 的正方体，1BDA3点 在 上，点 在 上，且 E1AF1CEFC（1）求证： 四点共面；（4 分）， ， ，（2）若点 在 上， ，点 在 上，GB23M1B，垂足为 ，求证： 平面 ；（4 分）MF HE C（3）用 表示截面 和侧面 所成的锐二面角的大小，求 1D1 tan证明：（1）建立如图所示

12、的坐标系，则 ， ， ，(30)B， ， (32)F， ， 1(3)BD， ，所以 ，故 ， ， 共面1BEF1E AGHMEF1B1DCCBAGHMDEF11zyx七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载D1 C1B1A1ED CBAHD1 C1B1A1ED CBA又它们有公共点 ，所以 四点共面B1EFD， ， ，（2）如图，设 ，则 ，(0)Mz， ， 203Gz， ，而 ，由题设得 ，3)BF， ， BFAA得 1z因为 ， ，有 ，又 ， ，所以(0)， ， (1)E， ， (30)， ， 1(03)B， ， (03)C， ， ，从而 ， 1MB

13、ACAME 故 平面 1（3）设向量 截面 ，于是 ， (3)Pxy， ， 1BFDPBE F而 ， ，得 ， ，解得(0)BE， ， 2F， ， 30xA360yA， ，所以 1xy()， ，又 平面 ，所以 和 的夹角等于 或 （ 为锐角） (3)A， ， 1BCPB于是 cos4P故 tan13【范例 3】如图，在长方体 AC1中，AD=AA 1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动.（1）证明：D 1EA 1D；（ 2） 当 E 为 AB 的 中 点 时 ， 求 点 E 到 面 ACD1的 距 离 ；（ 3） AE 等 于 何 值 时 ， 二 面 角 D1ECD 的 大 小 为 .4解析：法 1（1）AE面 AA1DD1，A 1DAD 1，A 1DD 1E（2）设点 E 到面 ACD1的距离为 h，在ACD 1中，AC=CD 1= ，AD 1= ，52故 .2,23521 BSSACECAD而1 11 3,3EAECDVh（3）过 D 作 DHCE 于 H，连 D1H、DE，则 D1HCE，DHD 1为二面角 D1ECD 的平面角. 设 AE=x，则 BE=2 x七彩教育网 http:/七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案免费下载D1 C1B1A1ED CBAoxz y112,1.4,RtDHDHAExt中中 .