空间曲线与曲面的绘制

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1、空间曲线与曲面的绘制本实验的目的是:利用数学软 件 Mathematica 绘制三维图形来 观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。1.空间曲线的绘制绘制空间曲线时一般使用曲线的参数方程，利用命令 “ParametricPlot3D”。如画出参数方程所确定的空间曲线的命令格式为:21 ,)()(ttzyxParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,tmin,tmax,选项、 1 画出旋转抛物面 与上半球面 交线的图形。2yxz21yxz解：它们的交线为平面 上的圆 ，化 为参数方程 为 ，下面的1z22 ,0 ,1sincotzmathematica 命令就是作出它们的

2、交线并把它存在变量 p 中：p、 ParametricPlot3D、Cos、t、,Sin、t、,1、,、t,0,2、 Pi、运行即得曲线如图 1 所示。在这里说明一点，要作空间曲 线的图形，必 须先求出该曲线 的参数方程。如果曲线为一般式 ，其在 面上的投影柱面的准0),(zyxGFxOy线方程为 ，可先将 化为参数方程 ，再0),(yxH,H)(tyx代入 或 解出 即可。 ,z0),(zFtz1、 空间曲面的绘制作一般式方程 所确定的曲面图形的 Mathematica 命令为：),(yxfPlot3Dfx,y,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax,选项 作参数方程 所确定的曲面图

3、形的 Mathematica 命令为：,)()( maxinmaxinvuvzyParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,umin,umax,v,vmin,vmax,选项-1-0.50 0.51-1-0.500.5100.511.52 、 2 作出上半球面 的图形。21yxz解：首先我们选取绘图区间 作图，输入下面语句：1,Plot3D、1、1、 x2、 y2,、x,、1,1、,、y,、1,1、运行后得到了该曲面的图形（图 2），但是在 图形的前面出 现了一些蓝色字体报错信息，而且 图形不完整，这是因为函数 在范围 内的一些点 处无定义。 为避免上述问题，可用下面z,两

4、种方法：、1、 定义一个分区域函数 ，将无定 义的点赋予函数 值 1：)(xf，,1,),( 22yxyxf作出该函数的图形只要键入命令：f、x_,y_、:、 If、x2、 y2、 1,1、1、 x2、 y2,1、Plot3D、f、x,y、,、x,、1,1、,、y,、1,1、运行后得图 3，可以看到该图 形比上半球面多了一部分曲面的 图形（即 平面上的部分）。但是 图z形比较粗糙，我们可以提高采 样点数，例如取采 样点数为 30，即运行命令Plot3D、f、x,y、,、x,、1,1、,、y,、1,1、,PlotPoints、 30、可得图形 4，由此可见图形已 经比较精细了。-1 -0.50

5、0.51-1-0.500.5111.251.51.752-1 -0.50 0.51-1-0.500.5111.251.51.752-1 -0.50 0.51-1-0.500.5111.251.51.752图 2 图 3 图 4、2、 采用参数方程，选取参数的范 围使得区域内的每一点都有定 义。 对于题目中的球面有参数方程 ，我 们输 入命令：2,0 , ,cos1invuvzyxParametricPlot3D、Cos、u、 Sin、v、,Sin、u、 Sin、v、,1、 Cos、v、,、u,0,2、 Pi、,、v,0,Pi2、,PlotPoints、 30、运行后得图形 5。我们还可以改 变

6、参数的范围画出上半球面的 部分（如图 6）：4ParametricPlot3D、Cos、u、 Sin、v、,Sin、u、 Sin、v、,1、 Cos、v、,、u,0,3、 Pi、2、,、v,0,Pi、2、,PlotPoints、 30、-1 -0.50 0.51-1-0.500.5111.251.51.752-1-0.50 0.51-1-0.500.5111.251.51.752图 5 图 62、 空间图形的叠加与平面图形类似，空间的立体 图形同样可用“Show”命令，把不同的图形（曲线或曲面）叠加并在一个坐标系中显示出来。例 3 画出由旋转抛物面 与上半球面 相交所围成的立体几何图形。2yx

7、z21yxz解：这是一个组合图形。一般地，直接画出两者的图形再组合在一起。但是，这里所要的图形仅仅是两个曲面图形的一部分，因此需要有 选择地画出两曲面的相应 部分再组合。由于它 们的交线为 ，12zyx故相应的曲面部分的参数方程为：与 。1,02 , ,sinco2rtrzyx 2,0 , ,cosinvuvzyx输入以下 Mathematica 语句：t1、 ParametricPlot3D、r、 Cos、t、,r、 Sin、t、,r2、,、t,0,2、 Pi、,、r,0,1、,PlotPoints、 30、;t2、 ParametricPlot3D、Cos、u、 Sin、v、,Sin、u、

8、 Sin、v、,1、 Cos、v、,、u,0,2、 Pi、,、v,0,Pi2、,PlotPoints、 30、;Show、t1,t2、运行后即得旋转抛物面、上半球面及叠加曲面的图形（图 7）。-1 -0.50 0.51-1-0.500.5100.250.50.751-1 -0.50 0.51-1-0.500.5111.251.51.752-1-0.50 0.51-1-0.500.5100.511.52图 7例 4 绘制由曲面 与 所围成的立体区域。22xyxz、z解：输入命令：s1、 ParametricPlot3D、u,v,u2、 v2、,、u,、1,1、,、v,、1,2、,PlotRang

9、e、0,2、,AxesLabel、X,Y,Z、,DisplayFunction、 Identity、;s2、 ParametricPlot3D、u2,u,v、,、u,、1,1、,、v,0,2、,AxesLabel、X,Y,Z、,DisplayFunction、 Identity、;s3、 ParametricPlot3D、1,u,v、,、u,、1,1、,、v,0,2、,AxesLabel、X,Y,Z、,DisplayFunction、 Identity、;s4、 ParametricPlot3D、u,v,0、,、u,、1,1、,、v,、1,1、,AxesLabel、X,Y,Z、,Display

10、Function、 Identity、;Show、s1,s2,s3,s4,DisplayFunction、 $DisplayFunction、 在上述语句中，选项“DisplayFunction 、Identity”表示不显示 图形，而“DisplayFunction、$DisplayFunction”则表示显示图形。运行结果如图 8。4用动画来演示产生旋转曲面的 过程。例 5 用动画演示由曲线 绕 轴旋转产生旋转曲面的过程。,0sinzyz解：该曲线绕绕 轴旋转产生的曲面方程为 ，其参数方程为zyx22sin，输入以下命令，就可得到连续变化的 20 幅图形：,0, ,sincouzyxm、

11、20;For、i、 1,i、 m,i、,ParametricPlot3D、Sin、z、 Cos、u、,Sin、z、 Sin、u、,z、,、z,0,Pi、,、u,0,2、Pi、 i、m、,AspectRatio、 1,AxesLabel、X,Y,Z、,PlotPoints、 30、运行后得到 20 幅曲面的图形， 图 8 中列举了其中的三幅。大家还可以进行动画演示，观察到旋转曲-1-0.500.51X-1012Y00.511.52Z 8、面产生的过程。0 0.25 0.5 0.75 1X00.20.40.60.8Y0123Z-1 -0.5 0 0.51X00.250.50.751Y0123Z-1 -0.5 0 0.51X-1-0.500.51Y0123Z图8 实验习题1、 作出各种标准二次曲面的图形。2、 利用参数方程作图，作出由下列曲面所 围成的立体：、1、 及 面xyxz22、Oy、2、 及01y、z3、观察二次曲面族 的图形。特 别注意确定 的这样一些值，当 经过这些值时，曲面kz2 kk从一种类型变成了另一种类型。