《大学物理第六章振动和波》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理第六章振动和波（93页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、简谐振动的描述1简谐振动的判断2同方向同频率简谐振动的合成3简谐波的描述4简谐波的叠加和波的干涉52振动一个物理量随时间 t 作周期性变化：( ) ( )y t y t T“周期性”是这种运动形式的典型特征机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。第一节 简谐振动3弹簧振子 (spring oscillator)的例子一根轻弹簧连接一个质点，置于光滑水平面上。k为 劲 度系数 (coefficient of stiffness) xFx0k mkxF 小幅振动满足胡克定律：物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置，称为 线性回复力 。由牛顿第二定律：k x m a1. 弹簧 振
2、子模型4令mk20dd 222 xtx 微分方程的解 0c os( )A t0dd 22 xmkt x0m a k x即： 或：这样的运动规律符合简谐函数形式，叫做简谐振动(simple harmonic vibration ) 。5 简谐振动的运动方程 0c os( )x A tA 振幅 (amplitude) 离开平衡位置的最大位移三个重要的特征量 角频率 （或称圆频率） (angular frequency)在 2 秒时间内完成全振动的次数0 初相 (initial phase)反映初始时刻振动系统的运动状态62 频率 ： 1 秒内完成全振动的次数，单位： Hz。周期 T ：完成 一次全
3、振动所经历的时间 , 单位 s。 频率与周期 (frequency & period)2T00d si n( ) c os( )d2xv A t A tt 2200d c os( ) c os( )dva A t A tt 速度和加速度以上两式表明，速度和加速度随时间的变化也满足简谐运动的规律，但与位移有相位差：速度超前位移 /2，加速度与位移反相7 振动曲线xtoA-A T 振动的相位 (phase) 0 t称为振动的 相位， t = 0 时刻的相位为初相1、用“相位”描述物体的运动状态。2、用“相位”来比较两个同频率简谐振动的“步调”。0c os( )x A t80dd 222 xtx 简
4、谐振动的动力学方程物体作简 谐振动的动力学方程判别简谐振动的依据：1、运动表达式为 = cos( +0)，其中 A、 和 是常数。2、作用力的形式 为 = ， k为常系数。3、动力学方程可写成 d2d2 +2 = 0， 2为 常系数，其平方根即为角频率。9 （或 T ） 决定于振动系统的动力学性质，叫做系统的 固有角频率kmT 2mk前述的弹簧振子例子： 再回顾三个重要的特征量A ， 决定于系统的初始条件 ( t=0 ) 0c os( )x A t00c osxA 0si n( )v A t si nvA2200 ()vAx ) a r c t g ( 00xv 在 02 内为 多值函数，注意
5、取舍！0 0,2)或 0 ,) 10作用力的形式为 F = kx ， k 为常系数。具有特点：大小与离开平衡位置的位移成正比，而方向永远指向平衡位置。这样的力叫做线性回复力（ linear restore force）。系统（概念更为广泛）在类似的线性回复力作用下，一定是做简谐振动。注意到系统总是在平衡位置附近做振动的，因此分析系统的运动时选取平衡位置做坐标零点更为方便。2. 线性 回复力1122dds intsmmg sl22dds intmlmg s in在小幅振动时：0dd22 lgtlgglT 2OlsmgT例 1：单摆 (simple pendulum)12m g lM 22ddtJ
6、m g l 222dd tJm g l2令m c o s ( )t oC* l（ C点为质心）m g lJT 2 mgm g lJ 例 2：复摆 (complex pendulum)13例 3 一 长方体木块静止浮于水中，其浸入水中部分高度为 a。现将其轻轻下压至浸入水中部分高度为 b，如 图所 示，然后放手让其进行自由振动。（ 1）若不计水的黏滞阻力，试证明木块是作简谐振动。（ 2）从放手时刻开始计时，写出木块的振动方程14解 1） x轴向上为正，零点选在水面处，即以静止时木块上的水痕迹为标记。显然当标记所在的坐标 x为正时，向上的浮力小于向下的重力，木块所受的合力向下，为负。因此根据牛顿第
7、二定律有： = ( ) = d2d2木块静止时有浮力等于重力： = d2d2 + = 0振动的角频率和周期分别为： = = 2 2） 开始 振动时的初始条件为木块的位移在负方向最大处 = (0)0 = sin(0)0 = = = cos + = cos( +0) = sin +015例 如图所示，劲度系数为 k的轻质弹簧一端固定在地面上，另一端系一轻绳，绳子绕过匀质定滑轮连接一质量为 m的物体，绳子在滑轮上不打滑且不可伸长，保持弹簧拉伸状态，使物体上下作微小自由振动。已知滑轮的半径为 R，质量为 M， 可看作匀质圆盘。证明物体作简谐振动并求出物体的振动周期。以物体平衡位置为坐标原点 O，竖直向
8、下为正方向建立坐标系 Oy，滑轮转动轴垂直图平面向外为正。在物体平衡时，弹簧有一个伸长量，设为 a，则：ka=mg各个物理量标示如右图所示。解212ddym m g Tt 12J T R T R 2 ()T k a y22ddyRt 物体 m应用牛顿第二定律：滑轮应用转动定律：绳子无质量且不可伸长：绳子在滑轮上不打滑：由上述四式化简，可得：222d( / )dym J R k yt 212J M R221d()2dym M k yt / ( / 2 )k m M 令222d 0dy yt 2 2 ( / 2 ) /T m M k 若将滑轮当做匀质圆盘，则：故：则：表明物体 m作简谐振动，周期y
9、x0P0tA旋转矢量的模为 A， t =0 时，旋转矢量与 x 轴的夹角为 0，旋转矢量的角速度为 。矢量端点在 x 轴上的投影点作简谐振动！0c os( )Px A t旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态3. 旋转 矢量图法19例 一物体沿 Ox轴作简谐振动，振幅为 A 0.2m， 周期为 T 4s。当 t 0时，物体的位移为 0.1m，且向 Ox轴负向运动。 求：（ 1）振动的表达式；（ 2） t T/3时物体的位置、速度和加速度；（ 3）物体从 x 0.1m处向 Ox轴正向运动，第一次回到平衡位置需要多少时间 。20（ 1） .设位移表达式为 :已知 A = 0.2 m , T
10、= 4s12 r a d s2T 0c o s ( )x A t00 . 2 c o s ( ) 2xt m解21由初始条件 用旋转矢量法 求初相 0当 t = 0 时 , 位移为 0.1m ，且向 x 轴负方向运动0 3220. 2 c os m23xt 2 4 6 8t0 . 20 . 10 . 10 . 2x振动表达式为：振动曲线为：23（ 2） t T/3时物体的位置、速度和加速度d 0. 1 si n m / sd 2 3x tt v22d 0 .0 5 c o s m /sd 2 3att v40. 2 c os 0. 2 m2 3 3x d40.1 si n 0d 2 3 3xt
11、 v22d40 .0 5 c o s 0 .4 9 3 m /sd 2 3 3a t v0. 2 c os m23xt 24（ 3）物体从 x 0.1m处向 Ox轴正向运动，第一次回到平衡位置需要多少时间。5 / 6 5 s/ 2 3t 质点从 x = 0.1m 向 x 轴正方向运动可知此时的相位为 -/3。第一次回到平衡位置时的相位为 /2。第一次回到平衡位置所需要的时间：v2 2 2 2k011 si n ( )22E m v m A t 2 2 2p011 c os ( )22E k x k A t km 2 振子动能振子势能221 kAEEEPk 0 xxkm振子的总能量为常量！4.
12、简谐振动 的能量25221 kAE ttAx c o sxtE1、简谐振动系统的机械能守恒。2、简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比。E p E k26 势能和动能的平均值22k0011 si n ( ) d2TE k A t tT241 kA241 kAp00 c os ( ) d2TE k A t tT简谐振动系统的势能和动能的平均值，皆等于总能量的一半。27例 如图所示，截面积为 S的 U型管，内装有密度为 r、长度为 l的液体柱受到扰动后管内液体发生 无阻力 振荡，试分析液柱的运动 。由于液体不宜简化为一个质点，而液体受到扰动后，在振动过程中没有机械能损失，因此用能量法来分析。解取
13、U型管两边液体等高的位置为坐标原点，向上为正建立坐标系Ox。设 t时刻，右面液面升高 x，此时左侧液面下降 x，以 U型管两边液体等高的位置为势能零点，则此时的势能为：2pE S x gr21d2dkxE l Str 221d .2dxl S S x g C o n s ttrr 22d2 0dxg xtl分析可知所有质元的总动能为：系统机械能守恒，则：两边同时对时间求导，整理后得：2 gl 2 22lTg 圆频率或周期与管的形状、截面积以及液体种类无关 ！上式说明，液柱作简谐振动，振动的角频率为：周期为：第二节 简谐振动的合成1.相同方向上同频率的简谐振动的合成A1 1 1c os( )x A t2 2 2c os( )x A t12x x x)c o s ( tAx同方向、同频率简谐振动的合成仍是简谐振动：x1A2A1231)c o s (2 12212221 AAAAA22112211c o sc o ss i ns i nt a nAAAA 合振动的振幅与初相Ax1A2A1232 21 2 0 , 1 , 2 ,kk 12A A A12A A A 相互加强与相互减弱221
