《新高考数学人教版选修系列题型详解专题2.3 抛物线（第一课时）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学人教版选修系列题型详解专题2.3 抛物线（第一课时）（解析版）（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题2.3 抛物线(第一课时）题型一 抛物线的定义及运用【例1】(1)（2019河南高二月考（文）若点为抛物线上的动点，为的焦点，则的最小值为（ ）A1BCD(2)（2019河南高考模拟（文）已知抛物线y22px（p0）上的点到准线的最小距离为3，则抛物线的焦点坐标为（）A.（3，0）B.（0，3）C.（23，0）D.（0，23）(3)（2019吉林高考模拟（理）已知O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（）A4BCD【答案】(1)D(2)A(3)C【解析】(1)由y2x2，得，2p，则，由抛物线上所有点中，顶
2、点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为故选：D(2)抛物线y22px（p0）上的点到准线的最小距离为3，就是顶点到焦点的距离是3，即p2=3，则抛物线的焦点坐标为（3，0）故选：A(3)抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，|AF|=6，A到准线的距离为6，即A点的横坐标为4，点A在抛物线上，不妨设为第一象限，A的坐标A（4，4）坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（-4，0），|PO|=|PB|，|PA|+|PO|的最小值：|AB|= 故选：C【思路总结】抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，
3、三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等【举一反三】1（2019福建高二期末（文）已知点F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则M点的纵坐标为（）A.2B.4C.2D.4【答案】C【解析】由题意，抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若为的中点，如图所示，可知的横坐标为1，则的纵坐标为，故选C 2已知点P是抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|PM|的最小值是()A.B.4C.D.5【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，则，.将代入抛物线方程y22x，得，点A在抛物线的外部，当P，A，F三点共线时，|
4、PA|PF|有最小值，|PA|PM|有最小值.故答案选C3（2019福建省漳平第一中学高二月考）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）ABCD【答案】C【解析】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径，根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，进而推断当三点共线时，到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值为，故选C.题型二 抛物线标准方程【例2-1】根据下列条件确定抛物线的标准方程(1)关于y轴对称且过点(1，3)；(2)过点(4，8)；(3)焦点在x2y40上【答案】见解析【解析】(1)法一：设所求抛物线方程为x22py(p
5、0)，将点(1，3)的坐标代入方程，得(1)22p(3)，解得p，所以所求抛物线方程为x2y.法二：由已知，抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2my(m0)又抛物线过点，所以1m(3)，即m，所以所求抛物线方程为x2y.(2)法一：设所求抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将点(4，8) 的坐标代入y22px，得p8；将点(4，8)的坐标代入x22py，得p1.所以所求抛物线方程为y216x或x22y.法二：当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2nx(n0)，又抛物线过点(4，8)，所以644n，即n16，抛物线的方程为y216x；当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x
6、2my(m0)，又抛物线过点(4，8)，所以168m，即m2，抛物线的方程为x22y.综上，抛物线的标准方程为y216x或x22y.(3)由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为(0，2)或(4,0)当焦点为(0，2)时，由2，得p4，所以所求抛物线方程为x28y；当焦点为(4,0)时，由4，得p8，所以所求抛物线方程为y216x.综上所述，所求抛物线方程为x28y或y216x.【例2-1】（1）设抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为（ ）A.B.C.D.（2）（2019四川高三月考（文）若抛物线的准线为圆的一条切线，则抛物线的方程为（ ）A.B.C.D.【答案】（1）D（2）C【解析】（1
7、）由题意，抛物线的焦点，又由焦点在上，解得，所以抛物线的准线方程为，故选D.（2）抛物线的准线方程为，垂直于x轴而圆垂直于x轴的一条切线为，则，即故抛物线的方程为故选：C【举一反三】1（2019陕西高二期末（文）已知抛物线的准线方程为，则的值为（ ）A8BCD【答案】C【解析】由抛物线的准线方程为，所以，解得，故选C2（2019上海高二期中）经过点的抛物线的标准方程是（）A或B或C或D或【答案】D【解析】由于点在第四象限，故抛物线可能开口向右，也可能开口向上故可设抛物线的标准方程为，或，把点代入方程可得或，故抛物线的标准方程或，故选D。3（2018新疆高二期末（理）求满足下列条件的曲线的标准方
8、程：（1），焦点在轴上的椭圆；（2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线上抛物线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由，解得，所以，故所求的椭圆方程为；（2）直线与坐标轴的交点坐标分别是，当焦点坐标为时，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：当焦点坐标为时，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：。题型三 直线与抛物线的位置关系【例3】（2019黑龙江牡丹江一中高二月考（文）已知抛物线的方程为，直线过定点P（2,0），斜率为。当为何值时，直线与抛物线：（1）只有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点。【答案】（1）或（2）（3）【解析】由题意可设直线方程为：yk（
9、x2），联立方程可得，整理可得k2x24（k21）x+4k20（*）（1）直线与抛物线只有一个公共点（*）没有根k0时，x0符合题意k0时，16（k21）216k40综上可得，或0，（2）直线与抛物线有2个公共点（*）有两个根即（3）直线与抛物线没有一个公共点（*）没有根解不等式可得，k或k，即【思路总结】直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即方程k2x22(kbp)xb20解的个数 当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0，直线与抛物线有一个公共点；若0，即k1，且k0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；当0，即k1时，l与C有
10、一个公共点，此时直线l与C相切；当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点；当k1时，l与C没有公共点1（2019吉林长春市实验中学高二月考（文）抛物线的焦点坐标为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，故选：C.2（2019河北石家庄二中高二月考）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）ABCD【答案】B【解析】由抛物线的标准方程：，可知焦点在轴上，则焦点坐标，准线方程： 焦点到准线距离故选：B3两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且ab，则抛物线的焦点坐标为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由两个正数a，b的等差中项是，等
11、比中项是，且ab可得解得抛物线的方程为，故焦点坐标为.故答案选C4（2019福建省漳平第一中学高二月考）抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为()A.B.C.D.或【答案】B【解析】根据题意设出抛物线的方程，因为点在抛物线上，所以有，解得，所以抛物线的方程是：，故选B.5（2019安徽省太和中学高二期末（理）若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的倍，则（ ）ABCD【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点的距离为，解得，故选：D.6（2019枣庄市第三中学高三月考）设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是_.【答案】
12、【解析】抛物线方程的标准形式为：，准线方程为，由抛物线的定义得：点到该抛物线焦点的距离等于点到准线的距离，因为点到轴的距离是4，所以，故填：.7（2019陕西高二期末（理）抛物线上的点到其焦点的距离为_.【答案】5【解析】抛物线，准线为： 点到其焦点的距离为点到准线的距离为5故答案为58（2019安徽高考模拟（文）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，若点是抛物线准线上的动点，为坐标原点，且，则的最小值为_【答案】.【解析】,点到准线的距离为，即点的横坐标为，又点在抛物线上，点的坐标为，坐标原点关于准线的对称点的坐标为.则.9已知点M(3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是
13、该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是_【答案】【解析】抛物线的准线方程为，当MQx轴时，|MQ|QF|取得最小值，此时点Q的纵坐标y2，代入抛物线方程y22x得Q的横坐标x2，则.故答案为10（2019山东高三月考（文）直线与抛物线相交于，两点，当时，则弦中点到轴距离的最小值为_.【答案】【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为（0，），根据抛物线的定义如图，所求d=故答案为：11（2019贵州高三开学考试（文）已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为 。【答案】3【解析】抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以过焦点作直线的垂线，则该点到直线的距离为最小值，如图所示；由，直线，所以.12（2019江西高考
