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1、1,感谢您的阅览,高数导数的概念,2,在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数,本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题,3,导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少,重点,导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求
2、导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导,难点,导数的实质，用定义求导，链式法则,4,问题的提出,导数的定义,导数的几何意义与物理意义,可导与连续的关系,利用导数定义求导数,小结,第一节 导数的概念,左、右导数,5,一、引出导数概念的两个实例,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,6,2. 曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,当 时,割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,7,两个问题的共性,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限,类似问题还有,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时
3、间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,8,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,9,说明: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数,其它形式,10,若上述极限不存在,在点 不可导,就说函数,11,关于导数的说明,12,注意,13,函数在一点的导数是一个局部性概念，它反映了函数在该点处的变化快慢，而与临近点是否可导无关。存在仅在某一点可导，而在其余点不可导的函数,导数定义式中的x必修连续地趋于零,14,三、由定义
4、求导数,步骤,例1,解,15,例2,解,16,例3,解,更一般地,例如,17,例4,解,18,例5,解,19,四、左、右导数,2.右导数,单侧导数,1.左导数,20,左右导数统称为单侧导数,21,例6,解,22,五、 导数的几何意义与物理意义,若,曲线过,上升,若,曲线过,下降,若,切线与 x 轴平行,称为驻点,若,切线与 x 轴垂直,切线方程,法线方程,23,例7,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,24,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度,交流电路:电量对时间的导数为电流强度,非均匀的物体:质量对长度(面积,
5、体积)的导数为物体的线(面,体)密度,25,例7. 问曲线,哪一点有垂直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程,解,令,得,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点 (0 , 0) 有垂直切线,26,六、可导与连续的关系,证,定理 若y=f(x)在 点可导，则y=f(x)在 处一定连续,27,定理2. 函数,左,左,由定理1和定理2,可得,在闭区间 a , b 上可导,注意:可导的条件要比连续强,存在处处连续但是处处不可导的函数,28,连续函数不存在导数举例,例如,反例,在 x = 0 处连续 , 但不可导,29,例如,30,例如
6、,31,七、小结,1. 导数的实质: 增量比的极限,3. 导数的几何意义: 切线的斜率,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数,6. 判断可导性,不连续,一定不可导,连续,直接用定义,看左右导数是否存在且相等,32,思考与练习,1. 函数 在某点 处的导数,区别,是函数,是数值,联系,注意,有什么区别与联系 ,与导函数,33,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,4. 若,时, 恒有,问,是否在,可导,解,由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,34,5. 设,问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x
7、 = 0 连续,35,作业,P86 1 , 5 , 6, 11, 16 , 18,36,牛顿(1642 1727,伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分,1665年他提出正,流数 (微分) 术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等,37,莱布尼兹(1646 1716,德国数学家, 哲学家,他和牛顿同为,微积分的创始人,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿,他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计,数法,并把它与中国的八卦联系起来,38,39,40,感谢您的阅览您的关注使我们更努力,此课件下载后可自行编辑修改 关注我 每天分享干货
