《2020_2021学年新教材高中数学单元素养评价第三章圆锥曲线的方程新人教A版选择性必修第一册48》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020_2021学年新教材高中数学单元素养评价第三章圆锥曲线的方程新人教A版选择性必修第一册48（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章圆锥曲线的方程(第三章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为()A.B.C.(1,0)D.(0,1)【解析】选A.因为抛物线过点(1,4),所以4=2a,所以a=2,所以抛物线方程为x2=y,焦点坐标为.2.(2017浙江高考)椭圆+=1的离心率是()A.B.C.D.【解析】选B.因为椭圆方程为+=1,所以a=3,c=.所以e=.3.已知F是抛物线y=x2的焦点,P是该抛物线上的动点,则线段PF中点的轨迹方程是()A.x2=2y-1
2、B.x2=2y-C.x2=y-D.x2=2y-2【解析】选A.设P(x0,y0),PF的中点为(x,y),则y0=,又F(0,1),所以所以代入y0=得2y-1=(2x)2,化简得x2=2y-1.4.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为()A.1B.0C.-2D.-【解析】选C.设点P(x0,y0),则-=1,由题意得A1(-1,0),F2(2,0),则=(-1-x0,-y0)(2-x0,-y0)=-x0-2+,由双曲线方程得=3(-1),故=4-x0-5(x01),可得当x0=1时,有最小值-2.5.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐
3、近线的距离是()A.B.C.1D.【解析】选B.由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),双曲线的渐近线方程为x-y=0或x+y=0,则焦点到渐近线的距离d1=或d2=.6.若双曲线C:-=1(a0,b0)的渐近线与抛物线y=x2+相切,则C的离心率为()A.B.C.2D.【解析】选A.由题意得,联立直线与抛物线得x2-kx+=0,由=0得k=,即=,所以e=.7.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则椭圆C的离心率为().A.B.C.D.3【解析】选A.如图,设椭圆方程为+=1(ab0),B(0,b)为上顶点,F(c,0)为右焦点,设D(x,y
4、),由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),即解得所以D.因为点D在椭圆上,所以+=1,解得a2=3c2,即e2=,所以e=.8.已知点E是抛物线C:y2=2px(p0)的对称轴与准线的交点,点F为抛物线C的焦点,点P在抛物线C上,在EFP中,若sinEFP=sinFEP,则的最大值为()A.B.C.D.【解析】选C.过P(x轴上方)作准线的垂线,垂足为H,则由抛物线的定义可得|PF|=|PH|,由sinEFP=sinFEP,则在PFE中由正弦定理可知:|PE|=|PF|,所以|PE|=|PH|,设PE的倾斜角为,则cos =,当取得最大值时,cos 最小,此时直线PE与抛物线相切,设直线P
5、E的方程为x=ty-,则联立直线与抛物线即y2-2pty+p2=0,所以=4p2t2-4p2=0,所以t=1,即tan =1,则cos =,则的最大值为.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程可以为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选BD.2c=6,所以c=3,2a+2b=18,a2=b2+c2,所以所以椭圆方程为+=1或+=1.10.设双曲线-=1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程可以为()A.y=xB.y=
6、-xC.y=xD.y=-x【解析】选CD.因为2b=2,2c=2,所以b=1,c=,所以a2=c2-b2=3-1=2,所以a=,故渐近线方程为y=x.11.设圆锥曲线的两个焦点分别为F1,F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432,则曲线的离心率等于()A.B.C.D.2【解析】选AC.设圆锥曲线的离心率为e,由|PF1|F1F2|PF2|=432,知若圆锥曲线为椭圆,由椭圆的定义,则有e=;若圆锥曲线为双曲线,由双曲线的定义,则有e=.综上,所求的离心率为或.12.已知双曲线C:-=1,给出以下4个命题,真命题的是()A.直线y=x+1与双曲线有两个交点B.双曲线C与-=
7、1有相同的渐近线C.双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3D.双曲线的焦点坐标为(-13,0),(13,0)【解析】选BC.A错误,因为直线y=x+1与渐近线y=x平行,与双曲线只有一个交点;B正确,两曲线渐近线方程均为y=x;C正确,右焦点为(,0)到渐近线y=x的距离为3.D错,因c2=a2+b2=13,所以双曲线焦点坐标为(,0)和(-,0).三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且满足|PF2|=|F1F2|,则|PF1|=,PF1F2的面积等于.【解析】由+=1知,a=5,b=4,
8、所以c=3,即F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF2|=|F1F2|=6.又由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=10,所以|PF1|=10-6=4,于是=|PF1|h=4=8.答案:4814.已知P为抛物线y2=4x上的任意一点,记点P到y轴的距离为d,对于定点A(4,5),|PA|+d的最小值为.【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.由题意得d=|PF|-1,所以|PA|+d|AF|-1=-1=-1,当且仅当A,P,F三点共线时,|PA|+d取得最小值-1.答案:-115.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2
9、为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为.【解析】设椭圆的方程为+=1(ab0),F2的坐标为(c,0),P点坐标为(不妨取第一象限内点P),由题意知|PF2|=|F1F2|,所以=2c,a2-c2=2ac,+2-1=0,解得=-1,负值舍去,所以e=-1.答案:-116.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则AFB的面积为.【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,所以c=5,且A(3,0),F(5,0).因为双曲线-=1的渐近线方程为y=x.所以直线BF的方程为y=(x-5).若直线BF的方程为y=(x-5),与渐近线y=-x交于
10、点B,此时SAFB=|AF|yB|=2=;若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.此时SAFB=|AF|yB|=2=.因此,AFB的面积为.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)给定抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.若|FA|=2|BF|,求直线l的方程.【解析】显然直线l的斜率存在,故可设直线l:y=k(x-1),联立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,故x1=,又|FA|=2|BF|,所以=2,则x1-1
11、=2(1-x2)由得x2=(x2=1舍去),所以B,得直线l的斜率为k=kBF=2,所以直线l的方程为y=2(x-1).18.(12分) (2019全国卷)已知F1,F2是椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点.(1)若POF2为等边三角形,求C的离心率.(2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.【解析】(1)连接PF1,由POF2为等边三角形可知在F1PF2中F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=c,故C的离心率e=-1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,|y|
12、2c=16,=-1,即c|y|=16,x2+y2=c2,+=1,由及a2=b2+c2得y2=,又由知y2=,故b=4.由得x2=(c2-b2),所以c2b2,从而a2=b2+c22b2=32,故a4.当b=4,a4时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为4,+).19.(12分)椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为73,求椭圆和双曲线的方程.【解析】焦点在x轴上,设椭圆方程为+=1(ab0),且c=.设双曲线为-=1(m0,n0),m=a-4.因为=,所以=,解得a=7,m=3.
13、因为椭圆和双曲线的半焦距为,所以b2=36,n2=4.所以椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.焦点在y轴上,椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.20.(12分)已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又知此抛物线上一点P(4,m)到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程.(2)若此抛物线方程与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px,p0,其准线方程为x=-,因为P(4,m)到焦点的距离等于P到其准线的距离,所以4+=6,所以p=4,所以此抛物线的方程为y2=8x.(2)由消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0,设
14、直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则有解得k-1且k0,且x1+x2=4,解得k=2或k=-1(舍去),所以所求k的值为2.21.(12分)设有三点A,B,P,其中点A,P在椭圆C:+=1(ab0)上,A(0,2),B(2,0),且+=.(1)求椭圆C的方程.(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45,直线l与椭圆C相交于E,F,求三角形OEF的面积.【解析】(1)由题意知,b=2,设P(x,y),A(0,2),B(2,0),由+=,得(2,2)=(x,y),则椭圆方程为+=1,可得+=1,即a2=8.所以椭圆方程为+=1.(2)c=2.所以直线l的方程为y=x-2,代入椭圆方程+=1,整理得:3x2-8x=0,则x=0或x=.所以交点坐标为(0,-2)和,所以|EF|=,O到直线l的距离d=.所以SOEF=.22.(12分)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F.(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P,Q两点,若|PQ|=,求抛物线C的方程.(2)过点F的直线交抛物线C于A,B两点,直
