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1、全等三角形2,一）基础知识 1、证明两个三角形全等的方法： SSS，SAS，ASA，AAS，HL,2、角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等,3、角平分线的判定定理： 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上,因此，角平分线可以看作是角的内部到角两边的 距离相等的点的集合,OC平分AOB，PDOA于D，PEOB于E PD=PE,PDOA于D，PEOB于E ，且PD=PE OC平分AOB,4、图形变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了， 但形状、大小都没有改变， 即平移、翻折、旋转前后的图形全等,5、常见基本图形,例1、如图，AC平分BAD，CFAD，CEAB， C
2、D=CB，求证：BE=DF,例1、如图，AC平分BAD，CFAD，CEAB， CD=CB，求证：BE=DF,分析要证BE=DF， 只需证CBECDF 而CD=CB，CEB=CFD=90， 只需证CE=CF，这可由角平分线的性质得到,例1、如图，AC平分BAD，CFAD，CEAB， CD=CB，求证：BE=DF,证明：AC平分BAD， CFAD，CEAB， CE=CF，CEB=CFD=90 在RtCBE和RtCDF中， RtCBERtCDF BE=DF,例2、已知，如图，OD平分AOB， 在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上， 且PMBD，PNAD，求证：PM=PN,例2、已知，如图，OD
3、平分AOB， 在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上， 且PMBD，PNAD，求证：PM=PN,分析由于PM、PN是点P到 ADB的两边的距离， 所以只需证OD平分ADB， 这可通过证明OBDOAD得到,例2、已知，如图，OD平分AOB， 在OA、OB边上取OA=OB，点P在OD上， 且PMBD，PNAD，求证：PM=PN,例3、如图，ABC中，点P是角平分线AD、BE 的交点，求证：点P在C的平分线上,例3、如图，ABC中，点P是角平分线AD、BE 的交点，求证：点P在C的平分线上,分析 过点P作POBC于O， PMAB于M，PNAC于N， 要证点P在C的平分线上， 只需证PO=PN 而
4、由已知可知， PM=PN，PM=PO，得证,例3、如图，ABC中，点P是角平分线AD、BE 的交点，求证：点P在C的平分线上,证明：过点P作POBC于O， PMAB于M，PNAC于N 点P是角平分线AD、BE的交点， PM=PN，PM=PO PN=PO POBC，PNAC， 点P在C的平分线上,小结三角形三个内角的平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等,小结三角形三个内角的平分线交于一点， 且该点到三角形三边的距离相等,发展 1、如图，点P是ABC的 两个外角的平分线的交点， 则点P到ABC三边所在 直线的距离相等， 且点P在B的平分线上,小结三角形三个内角的平分线交于一点， 且该点到
5、三角形三边的距离相等,发展 1、如图，点P是ABC的 两个外角的平分线的交点， 则点P到ABC三边所在 直线的距离相等， 且点P在B的平分线上 2、到三角形三边距离相等的点有4个。 （在三角形内部，只有一个；在三角形外部，有3个,例4、ABC的三边AB、BC、AC的长度分别 为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O， 求,例4、ABC的三边AB、BC、AC的长度分别 为20、30、40，其三个内角的平分线的交点为O， 求,分析过O作ODAB于D， OEAC于E，OFBC于F 由已知易证OD=OE=OF， 由此可知,例4、ABC的三边AB、BC、AC的长度分别 为20、30、40，其三个
6、内角的平分线的交点为O， 求,解：过O作ODAB于D， OEAC于E，OFBC于F ABC三个内角的平分线 的交点为O， OD=OE=OF,二）常见辅助线的添加方法,例5、在ABC中，AD是BC边上的中线， （1）求证：ABAC2AD. （2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是,二）常见辅助线的添加方法,例5、在ABC中，AD是BC边上的中线， （1）求证：ABAC2AD. （2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是,分析 （1） 延长AD到E，使得DE=AD 易证ACD EBD（SAS） 从而BE=AC 在ABE中，AB+BEAE AB+AC2AD. （2）易知2AD8,二）常
7、见辅助线的添加方法,例5、在ABC中，AD是BC边上的中线， （1）求证：ABAC2AD. （2）若AB=6,AC=10,则AD的取值范围是,分析 （1） 延长AD到E，使得DE=AD 易证ACD EBD（SAS） 从而BE=AC 在ABE中，AB+BEAE AB+AC2AD. （2）易知2AD8,倍长中线,例6、已知：如图，ABAC，E为AB上一点， F是AC延长线上一点，且EF交BC于点D , D为EF的中点. 求证：BECF,例6、已知：如图，ABAC，E为AB上一点， F是AC延长线上一点，且EF交BC于点D , D为EF的中点. 求证：BECF,分析过E作EM/AC，交BC于M. 易
8、证CDF MDE（AAS） 从而得到ME=CF. 要证BE=CF，只需证BE=ME. 这就需要证明B= 3 1+ 2=180， 3+ 4=180 2= 4 1= 3 B= 1 B= 3,例7、如图，在四边形ABCD中，对角线AC 平分BAD，ABAD， 试判断AB-AD与CB-CD的大小关系， 并证明你的结论,例7、如图，在四边形ABCD中，对角线AC 平分BAD，ABAD， 试判断AB-AD与CB-CD的大小关系， 并证明你的结论,分析在AB上取一点E， 使得AE=AD，连结CE 易证ACEACD CD=CE 在BCE中，BECB-CE， 即AB-AECB-CE， AB-ADCB-CD,例8
9、、如图，1=2，P为BN上一点， 若PCB+BAP=180，求证：PA=PC,例8、如图，1=2，P为BN上一点， 若PCB+BAP=180，求证：PA=PC,分析1 由已知1=2， 可以构造全等三角形， 在BC上取一点D，使得BD=AB， 连结PD，易证ABPDBP， 从而得到PA=PD 要证PA=PC，只需证PC=PD， 这可以通过证明PCB=PDC得到,例8、如图，1=2，P为BN上一点， 若PCB+BAP=180，求证：PA=PC,证法1：在BC上取一点D，使得BD=AB连结PD 在ABP和DBP中， ABPDBP PA=PD，BAP=BDP PCB+BAP=180，PDC+BDP=1
10、80， PCB=PDC PD=PC PA=PC,例8、如图，1=2，P为BN上一点， 若PCB+BAP=180，求证：PA=PC,分析2过点P作PEAB于E， PDBC于D，可知PE=PD， 易证PAEPCD， 从而得到PA=PC,例8、如图，1=2，P为BN上一点， 若PCB+BAP=180，求证：PA=PC,证明：过点P作PEAB于E，PDBC于D PEA=PDC=90 1=2，PE=PD PCB+BAP=180， PAE+BAP=180， PCB=PAE 在PAE和PCD中， PAEPCD PA=PC,小结上述两种方法是与角平分线有关的问题中 常见的两种添加辅助线的方法， 即构造全等三角形或作角两边的垂线
