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1、绝密启用前山东省实验中学2021届高三第二次诊断性考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为集合，则（）A.B.C.或D.或答案：C根据指数不等式求解出的解集为集合，再求解出一元二次不等式的解集为集合，结合补集、交集的概念求解出.解：因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以或，所以或，故选：C.2.已知是实数，是纯虚数，则（）A.1B.C.D.答案：A化简，令其实部为零，虚部不为零解：解：所以，故选：A点评：本题考查纯虚数的定义，基础题3.“”是
2、“对任意的正数，”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解：分析：当对任意的正数恒成立时，可得，由，所以当时，此时.所以“”是“对任意的正数，”的充分不必要条件.故选A4.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540B.300C.180D.150答案：D将分成满足题意的份有，与，两种，所以共有种方案，故正确5.设，则的大小关系是（）A.B.C.D.答案：A易得，再由，利用幂函数的单调性判断.解：因为，且，在上递增，所以，即，综上：故选：A6.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五
3、尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为A.6斤B.9斤C.10斤D.12斤答案：B根据题意设出等差数列的首项和第五项，通过公式计算出公差，根据等差数列的性质即可求出中间三项的和.解：依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项，则，则，由等差数列性质得，中间三尺的重量为9斤故选B点评：本小题主要考查中国古代数学文化史，考查等差数列的通项公式以及等差数列的性质，属于基础题.等差数列的通项公式求解
4、有很多种方法，一种是将已知条件都转化为和的形式，然后列方程组来求解；另一种是利用，先求出公差，再来求首项.7.已知函数若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.答案：B关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，设直线与切与点求出切线方程为：由图知函数的图象与直线无交点时实数的取值范围为实数的取值范围为解：因为函数所以关于的方程无实根等价于函数的图象与直线无交点，设直线与切与点由由已知有：解得，则则切线方程为：由图知：函数的图象与直线无交点时实数的取值范围为实数的取值范围为故选点评：本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查分段函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
5、平和数形结合分析推理能力.8.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，为的中点，则（）A.B.C.D.答案：A设，过点作于点，根据题中条件，得到，再由平面向量的线性运算，即可得出结果.解：设，由题意，可得，在中，可得，过点作于点，则，且，所以，所以，因此.故选：A二选择题：本题共4小题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知
6、的最小正周期为，则下列说法正确的有（）A.B.函数在上为增函数C.直线是函数图象的一条对称轴D.是函数图象的一个对称中心答案：BD首先化简函数，根据周期求，然后再判断三角函数的性质.解：，故A不正确；当时，是函数的单调递增区间，故B正确；当时，所以不是函数的对称轴，故C不正确；、当时，所以是函数的一个对称中心，故D正确.故选：BD点评：本题考查三角函数的化简和三角函数的性质，本题的思路是整体代入的思想，属于基础题型.10.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四
7、面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.答案：ABD根据题意，分别求得可判断A，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.解：由已知，由已知有，所以，则A正确；，则B正确；事件、不相互独立，故错误，即C错误，则D正确；综上可知正确的为ABD.故选:ABD点评：本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公式的应用，属于基础题.11.设为正实数，下列命题正确的有（）A.若，则；B.若，则；C.若，则；D.若，则.答案：AD将，分解变形为，即可证明，即；可通过举反例的方法证明其错误性；若，去
8、掉绝对值，将分解变形为，即可证明，同理当时也可证明，从而命题正确解：若，则，即，即，该选项正确；若，可取，则，该选项错误；若，则可取，而，该选项错误；由，若，则，即，即，即若，则，即，即，即该选项正确；故选：AD点评：方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.要根据已知灵活选择.12.设函数，其中表示，中的最小者.说法正确的有（）A.函数为偶函数B.当时，有C.当时，D.当时，答案：ABC的图象可由三个函数的图象画在同一个坐标系下得到（三图垒起，取最下者），然后依据图象逐个检验即可解：在同一坐标系中画出的图象（如图
9、所示），故的图象为图中粗线所示的图象关于轴对称，故为偶函数，故A正确；当时，；当时，；当时，；当时，此时有，故B成立从图象上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立取，则，故D不成立故选：ABC点评：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图象是由这两个函数的图象的较低部分构成的透过现象看本质，新定义题考查的还是基础数学知识，“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三填空题：本题共4小题.13.的展开式中的常数项为_答案：先求出展开式中的常数项与含的系数,再求展开式中的常数项.解：展开式的通项公式为:,令，解得,，令，解得,，展开式中常数项为:.故答案为:.点评：本题考查二
10、项展开式常数项的求解，属于基础题.14.若函数，则_答案：先根据时，得当时，进而得函数是以为周期的周期函数，再根据函数周期性求值即可得答案.解：解：因为时，所以，故，所以，所以当时，.即当时，函数是以为周期的周期函数.所以.故答案为：.点评：本题考查函数的周期性，解题的关键在于根据时，得当时，进而根据周期性得.15.如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为_.答案：利用，结合已知条件可把求出，由平面向量基本定理把，用已知向量，表示，再利用数量积的运算法则可求数量积解：，即，又，则，则，故答案为：点评：方法点睛：向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方
11、.16.在三棱锥中，侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为_答案：根据题意，画出图形，根据余弦定理、正弦定理，结合球的体积公式进行求解即可.解：在中，由余弦定理可知：因为，所以是顶角为钝角的等腰三角形，设的外接圆的直径为，由正弦定理可知：，因为侧棱底面，所以三棱锥的外接球的直径为，由勾股定理可知：，所以三棱锥的外接球的半径为：，所以三棱锥的外接球的体积为：故答案为：四解答题：本题包括6小题.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.在，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在中，内角的对边分别是，且满足 ，（1）若，求的面积；（2）求的取值范围.答案：（1）；（2）.选，由余弦
12、定理求得；选，利用正弦定理化边为角，再结合诱导公式，两角和的正弦公式变形化简后求得；选利用正弦定理化边为角，再结合诱导公式，两角和的正弦公式变形化简后求得接着都相同方法求解：（1）再由余弦定理求得后可得三角形面积；（2）用正弦定理把表示为函数，然后由两角和与差的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，再由正弦函数性质得出范围解：解：若选，由题意，化简得即，得（1）由余弦定理，得，解得（2）由正弦定理又因为，所以，因为若选，由，得，化简得得，得.以下与选同.若选，由得，即化简得，得.以下与选同.点评：本题考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式，正弦函数的性质等解题中常常利用正弦定理
13、进行边角互换，然后利用三角函数的恒等变换求解三角形中求与边有关的范围问题也常常转化为角，然后利用三角函数（主要是正弦函数）的性质求解18.已知数列的前项和，满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和答案：（1）；（2）.（1）根据，由数列通项公式和前n项和的关系求解.（2）由，利用错位相减法求解.解：（1）当时，当时，得，是以为首项为公比的等比数列，.（2）得，.点评：方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求
14、和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解19.已知在四棱锥中，是的中点，为的中点，是等边三角形，平面平面.（1）求证:平面；（2）求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析；（2）.（1）取的中点为，可证明，然后可证得线面平行；（2）取的中点为，以为空间坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.用空间向量法求得二面角的余弦值解：（1）证明:取的中点为，连结，因，四边形与四边形均为菱形，中点，
