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1、1.3.2空间向量运算的坐标表示导学案【学习目标】1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题【自主学习】知识点一 空间向量运算的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)，R数量积aba1b1a2b2a3b3知识点二 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则平行(ab)
2、ab(b0)ab垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)模|a|夹角公式cosa，b知识点三 向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)(a2a1，b2b1，c2c1)；(2)dAB|.【合作探究】探究一 空间向量的坐标运算【例1】(1)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)2b2，则x_.(2)已知a(2，1，2)，b(0，1,4)，求ab， ab， ab， (2a)(b)， (ab)(ab)【答案】(1)2(2)(2，2,2)，(2,0，6)， 7， 14 ，
3、 8ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，由(ca)2b2得2(1x)2，解得x2.(2)解ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2，2,2)；ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24)(2,0，6)；ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)47；(2a)(b)2(ab)2(7)14；(ab)(ab)(2，2,2)(2,0，6)22202(6)8.归纳总结：进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧(1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2，(ab)
4、(ab)(ab)2等(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)(b)，既可以利用运算律把它化成2(ab)，也可以求出2a，b后，再求数量积；计算(ab)(ab)，既可以求出ab，ab后，求数量积，也可以把(ab)(ab)写成a2b2后计算【练习1】(1)已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为_(2)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(1,2，3)，若|3|且，则Q点的坐标为()A(2,5,0) B(4，1，6)或(2,5,0)C(3,4,1) D(3,4,1)或(3，2，5)【答案】
5、(1)120(2)B(1)因为a(1,2,3)，b(2，4，6)，所以ab(1，2，3)，所以|ab|.因为(ab)c7，所以ab与c夹角的余弦值为，即夹角为60.因为a(1,2,3)与ab(1，2，3)方向相反，所以可知a与c的夹角为120.(2)设Q(x，y，z)，则(x1，y2，z3)，(1,1,1)，解得，或Q点的坐标为(4，1，6)或(2,5,0)探究二 空间向量的平行与垂直【例2】(1)对于空间向量a(1,2,3)，b(，4,6)若ab，则实数()A2 B1 C1 D2(2)正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3，若PQAE
6、，求的值思路探究(1)利用向量共线充要条件(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，求值【答案】(1)D因为空间向量a(1,2,3)，b(，4,6)，若ab，则，所以2，故选D.(2)解如图所示，以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3，所以3(a1，a1,0)(a，a,0)，所以3a3a，解得a，所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQAE，所以0，所以0，即0，解得b，所以点Q的坐标为，
7、因为，所以，所以1，故4.归纳总结：(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，根据x1x2y1y2z1z2是否为0判断两向量是否垂直；根据x1x2，y1y2，z1z2(R)或(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行2由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可【练习2】已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分别求与m的值；(2)若|a|，且与c(2，2，)垂直，求a.解(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得实数，m3
8、.(2)|a|，且ac，化简，得解得1.因此，a(0,1，2)探究三 空间向量的夹角与长度问题【例3】如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；(3)求证：BN平面C1MN.思路探究解(1)如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，线段BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，10(1)1223.又|，|.cos，.故A1B与B1C所成角的余弦值为.(3
9、)证明：依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，M，(1,0，1)，(1，1,1)，1(1)010，110(1)(1)10.，BNC1M，BNC1N，又C1MC1NC1，C1M平面C1MN，C1N平面C1MN，BN平面C1MN.归纳总结：1利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角2利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系
10、；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长【练习3】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CGCD，H是C1G的中点(1)求证：EFB1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值；(3)求FH的长解如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，则B1(1,1,1)，C(0,1,0)，E，F，G，C1(0,1,1)，H，(1)，(1,0，1)，(1，0，1)0，EFB1C.(2)，|，|，cos(，)，EF与C1G所成角的余弦值是.(3)，|.课后作业A组 基础题一、选择题1已知三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(a
11、,3，b2)在同一条直线上，那么()Aa3，b3Ba6，b1Ca3，b2 Da2，b1【答案】C根据题意(1，1,3)，(a1，2，b4)，与共线，(a1，2，b4)(，3)，解得故选C.2已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x等于()A(0,3，6) B(0,6，20)C(0,6，6) D(6,6，6)【答案】B由题a(2,3，4)，b(4，3，2)，设x(w，y，z)则由bx2a，可得(4，3，2)(w，y，z)2(2,3，4)(4,6，8)，解得w0，y6，z20，即x(0,6，20)3已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1,1,0) B(1，
12、1,0)C(0，1,1) D(1,0,1)【答案】B不妨设向量为b(x，y，z)，A若b(1,1,0)，则cos ，不满足条件B若b(1，1,0)，则cos ，满足条件C若b(0，1,1)，则cos ，不满足条件D若b(1,0,1)，则cos 1，不满足条件故选B.4已知向量a(2，x,2)，b(2,1,2)，c(4，2,1)，若a(bc)，则x的值为()A2 B2C3 D3【答案】Abc(2,3,1)，a(bc)43x20，x2.5已知A、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，5，1)，C(3，7，)，若，则等于()A28 B28C14 D14【答案】D(2，6，2)，(1，6，3)，2(1)662(3)0，解得14.二、填空题6已知a(1,1,0)，b(0,1,1)，c(1,0,1)，pab，qa2bc，则pq_.【答案】1pab(1,0，1)，qa2bc(0,3,1)，pq1003(1)11.7已知空间三点A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2
