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1、第八章重积分作业 9二重积分的概念与性质1利用二重积分的性质,比较下列积分的大小：（ 1）( x y)2 d与( x y)3 dDD(a)D 是由直线 x0, y0及 xy1所围成的闭区域；(b) D 是由圆周 ( x2)2( y 1)22 所围成的闭区域解： (a)因为在区域内部有xy1, xy2x3( xy)2 d 大y ，从而D(b) 因为在区域内部有xy1, x2xy3y) 3 d 大y，从而 ( xD（ 2）exyd 与e2 xydDD(a)D 是矩形闭区域：0x1,0 y1 ；(b) D 是矩形闭区域：1x0,0y1解： (a)因为在区域内部有0xy2xy,1exye2xy ，从而
2、e2xyd大D(b) 因为在区域内部有0xy2xy,1exye2xy0 ，从而exyd大D（ 3 ）ln(1 xyz)dv 与ln 2 (1xyz)dv ，其中是由三个坐标面与平面 xyz1所围成的闭区域解 ： 因 为 在 区 域 内 部 有 11xy z 2e,0 ln 1xy z 1 ， 从 而0 ln 1 x y z ln 2 1xyz ，因此ln(1 xyz)dv 大2利用积分的性质，估计下列各积分的值：（ 1）(x)d，其中 D 是矩形闭区域：0 x1,0y 1；IxyyD解：因为在区域内部有1xy(x y) 2, D 1，因此0I2（ 2） Iln(1x2y2z2 )dv ，其中为
3、球体 x2y 2z21 ；解：因为在区域内部有1ln(1 x2y2z2 )ln 2,V4，43因此 0 Iln 23（ 3） I( x y)ds ，其中 L 为圆周 x 2y21 位于第一象限的部分；L解：因为在曲线上积分，不妨设 xcost, ysin t ,2 xy costsin t2 sin t2 ，4s L2，因此22I2 2（ 4） I12 dS ，其中为柱面 x2y21 被平面 z0, z 1 所截下2y2zx的部分解：因为在曲面上积分，从而11z21， S2 ，2x2y2因此I2作业 10二重积分的计算1试将二重积分f (x, y)d化为两种不同的二次积分，其中区域D 分别为：
4、D（ 1）由直线 yx, x3 及双曲线 xy1 所围成的闭区域；解：作图得知区域D 可以表示为：1x3, 1yx ，x3x得f (x, y)ddxfx, y dyD11x区域 D 也可以分块表示为：1y1, 1x3;1y3, yx33y1333从而f (x, y)ddyfx, ydxdyfx, y dxD111y3y（ 2）环形闭区域： 1x2y 24 解：在极坐标下环形闭区域1x2y 24 为 1r2,0222从而f (x, y)ddfr cos,r sinrdrD01在直角坐标下环形闭区域1 x2y 24 需分块表达，分块积分变为14 x211 x214 x224 x2Idxfx, yd
5、ydxfx, ydydxfdydxfdy24 x214 x211 x214 x22改换下列二次积分的积分次序（填空）：22 y4xdxfx, ydy ；（ 1）dyy2f ( x, y)dx00x222 xx2111y2dxdyfx, ydx ；（ 2）12xf ( x, y)d y02y12 y33y23xdyf ( x, y)d xdxfx, ydy （ 3）dy0f ( x, y)d x1000x23画出积分区域，并计算下列二重积分：（ 1）xyd，其中 D 是由两条抛物线yx, yx 2 所围成的闭区域；D1x12x324 111x ydyx3dxx5解：作图，原式 = dxx 4x 45 00x 203311（ 2）ex y d ，其中 D 是由 xy1所确定的闭区域；D01x11 x1解：作图，原式 =dxex ydydxex ydye1x 10x 1e655（ 3）x2y2d，其中 D 是由不等式 0ysin x,0x所围成的闭区域；Dsin x1 sin3 x)dx4 9解：作图，原式 =dx(x2y2 )dy( x2 sin x200034（ 4）xcos(y)d，其中 D 是顶点分别为 (0,0),( ,0),(,) 的三角形闭区域xD
