九、直线、平面、简单多面体

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1、概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结直线、平面、简单多面体1九、直线、平面、简单多面体1、三个公理和三条推论：（1）公理 1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面内的常用方法。（2）公理 2、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。（3）公理 3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论 1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论 3：经过

2、两条平行直线有且只有一个平面。公理 3 和三个推论是 确定平面的依据。如（1 ）在空间四点中，三点共线是四点共面的_条件（答：充分非必要） ；（2）给出命题：若A l，A， B l ，B，则 l ；若 A ，A，B，B ，则AB； 若 l，A l，则 A若 A、B、 C，A、B 、C，且A、B 、 C 不共线，则 与 重合。上述命题中，真命题是 _（答：） ；（3）长方体中 ABCD-A1B1C1D1中， AB=8，BC=6，在线段 BD，A 1C1上各有一点 P、Q，在 PQ上有一点 M，且 PM=MQ，则 M 点的轨迹图形的面积为_ （答：24）2、直观图的画法（斜二侧画法规则）：在画直观

3、图时，要注意：（1 ）使035xoy， xoy所确定的平面表示水平平面。 （2 ）已知图形中平行于 x轴和 z轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，平行于 y轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半。如（1 ）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（） （答：A）（2）已知正 ABC的边长为 a，那么 ABC的平面直观图 ABC的面积为_（答： 261a）3、空间直线的位置关系：（1）相交直线有且只有一个公共点。 （2 ）平行直线在同一平面内，没有公共点。 （3）异面直线 不在同一平面内，也没有公共点 。如（1）空间四边形 ABCD 中，E

4、、F 、G、H 分别是四边上的中点，则直线 EG 和 FH 的位置关系_（答：相交） ；（2 ）给出下列四个命题： 异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；两异面直线 ba,，如果 平行于平面 ，那么 b不平行平面 ；两异面直线 ba,，如果 平面 ，那么 不垂直于平面 ；两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_（答：）4、异面直线的判定：反证法。 如（1 ） “、为异面直线”是指：，但不平行于； 面 ， 面 且 ab ； 面 ， 面 且概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结直线、平面、简单多面体2FD CBAED1 C1B1A1； 面 ，b 面 ；不存在平面 ，

5、能使 面 且 面 成立。上述结论中，正确的是_（答：） ；（2 ）在空间四边形 ABCD 中，M、N 分别是AB、CD 的中点，设 BC+AD=2a，则 MN 与 a 的大小关系是 _（答：MNa） ；（3）若 E、F、G、H 顺次为空间四边形 ABCD 四条边 AB、BC、CD、DA 的中点，且EG=3，FH=4，则 AC2+BD2= _（答：50） ；（4 ）如果、是异面直线，P 是不在、上的任意一点，下列四个结论：过点 P 一定可以作直线 l与、都相交；过点 P 一定可以作直线 l与、都垂直；过点 P 一定可以作平面 与、都平行；过点 P 一定可以作直线 与、都平行。其中正确的结论是_（

6、答： ） ；（5）如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_（答：24） ；（6）已知平面,/, acAab且平 面 求证：b、c 是异面直线5、异面直线所成角 的求法：（1）范围： (02；（ 2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。如（1） 正四棱锥 ABCDP的所有棱长相等， E是 PC的中点，那么异面直线 BE与 PA所成的角的余弦值等于_（答： 3） ；（2）在正方体 AC1中，M 是侧棱 DD1的中点，

7、O 是底面 ABCD 的中心，P 是棱 A1B1上的一点，则 OP 与 AM 所成的角的大小为_ （答：90） ；（3）已知异面直线 a、 b 所成的角为 50，P 为空间一点，则过 P 且与 a、b 所成的角都是 30的直线有且仅有_条（答：2） ；（4）若异面直线 ,a所成的角为 3，且直线 ca，则异面直线 ,c所成角的范围是_（答：62） ；6、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。如（1）ABCD 是矩形，沿对角线 AC 把 ADC 折起，使 ADBC

8、，求证：BD 是异面直线 AD 与 BC 的公垂线；（2）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， EF 是异面直线 AC 与 A1D 的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与 EF 平行的直线有_条（答：1 ） ；7、两直线平行的判定：（1）公理 4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。8、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面

9、垂直；（2）三垂线定理及逆定理。9、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直 。注意：任一条概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结直线、平面、简单多面体3直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。如（1）下列命题中，正确的是 、若直线 a平行于平面 内的一条直线 b , 则 a/ 、若直线 a垂直于平面 的斜线 b 在平面 内的射影，则ab、若直线 垂直于平面 ,直线 b 是平面 的斜线，则 与 b 是异面直线、若一个棱锥的所有侧棱与底面所

10、成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：D） ；（2）正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，并且总保持 APBD 1，则动点 P 的轨迹是_（答：线段 B1C） 。10、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。 （2 ）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，

11、以便运用线面平行的性质。如（1 ） 、 表示平面，a、b 表示直线，则 a 的一个充分不必要条件是A、，a B、 b，且 abC 、ab 且 bD 、 且a（答： D） ；（2）正方体 ABCD-A B C D 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且 CM=DN，求证：MN 面 AA1B1B。11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。 （2）性质： 如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。如果两条直线都垂直

12、于同一个平面，那么这两条直线平行。如（1）如果命题 “若 yx,z，则 zx”不成立，那么字母x、 y、z 在空间所表示的几何图形一定是_（答： x、 y 是直线， z 是平面） ；（2）已知a， b， c 是直线， 、 是平面，下列条件中能得出直线 a 平面 的是 A、ab ，其中 ， B、ab ，C 、 ， D、 ， （答： D） ；（3）AB 为O 的直径， C 为O 上的一点，AD 面ABC，AEBD 于 E，AFCD 于 F，求证：BD平面 AEF。12、三垂线定理及逆定理 ：（ 1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）逆定

13、理 ：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。13、直线和平面所成的角 ：（ 1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 （2）范围： 0,9；（3 ）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 AB=1，D 在棱 BB1上，BD=1 ，则 AD与平面 AA1C1C 所成的角为_（答：arcsin 46） ；（ 2）正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、

14、F 分别是 AB、C 1D1的中点，则棱 A1B1 与截面 A1ECF 所成的角的余弦值是_ （答：概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结直线、平面、简单多面体413） ；（3） PCBA,是从点 引出的三条射线，每两条的夹角都是 60，则直线PC与平面 所成角的余弦值为_（答： 3） ；（4 ）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角 ，则 sin 的值为_（答： ） 。14、平面与平面的位置关系：（1）平行没有公共点；（2）相交有一条公共直线。15、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。 （2）性质：如果两个平行平面同时

15、与第三个平面相交，那么它们的交线平行。如（1 ） ,是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面/的条件是 A、 nm,是 内一个三角形的两条边，且 /,nmB、 内有不共线的三点到 的距离都相等C、 ,都垂直于同一条直线 aD 、 ,是两条异面直线， ,，且 /（答：B） ；（ 2）给出以下六个命题： 垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一直线的两个平面平行； 平行于同一平面的两个平面平行；与同一直线成等角的两个平面平行；一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是_ （答：） ；（3 ）正方体 ABCD-A B C D 中 AB=a。求证：平面 AD1B1平面 C1DB；求证：A1C平面 AD1B1 ；求平