《1981年全国统一高考数学试卷(文科)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1981年全国统一高考数学试卷(文科)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1981 年全国统一高考数学试卷（文科）一、解答题（共 9 小题，满分 100 分）1 （6 分）设 A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设 A=有理数 ，B=无理数，试写出：（1）AB， （2）AB2 （8 分） （1981 北京）化简： 3 （6 分）在 A、B、C 、 D 四位候选人中， （1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果4 （10 分） （1981 北京）求函数 f（x）=sinx+cosx 在区间（， ）上的最大值5 （10 分） （1981 北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的
2、情况加以证明6 （10 分） （1981 北京）已知正方形 ABCD 的相对顶点 A（0，1）和 C（2，5） ，求顶点 B 和 D 的坐标7 （17 分）设 1980 年底我国人口以 10 亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增 2%，那么到 2000 年底将达到多少？（2）要使 2000 年底我国人口不超过 12 亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？8 （15 分） （1981 北京） ABCDA1B1C1D1 为一正四棱柱，过 A、C、B 1 三点作一截面，求证：截面ACB1对角面 DBB1D19 （18 分） （1981 北京） （ 1）设抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+
3、k 所得的弦长为 ，求 k 的值（2）以本题（1）得到的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点做成三角形，当这三角形的面积为 9 时，求 P 的坐标1981 年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、解答题（共 9 小题，满分 100 分）1 （6 分）设 A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设 A=有理数 ，B=无理数，试写出：（1）AB， （2）AB考点： 交集及其运算；并集及其运算 分析： 根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得 AB，又由有理数、无理数的定义，可得AB解答： 解：（1）根据实数可分为有理数、无理数两大类，可得 AB=R，（2）有理数、无理数的定义，
4、没有一个数既是有理数又是无理数，则 AB=点评： 本题结合实数的分类与有理数、无理数的关系，考查集合间的交集、并集的运算，是概念类型的试题，难度较小2 （8 分） （1981 北京）化简： 考点： 方根与根式及根式的化简运算专题： 计算题分析：利用指数幂的运算法则，把原式转化为 ，由此能求出其结果解答：解：原式= 点评： 本题考查指数幂的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用3 （6 分）在 A、B、C 、 D 四位候选人中， （1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果；（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果考点： 组合及组合数公式；排列及排列数公
5、式 专题： 计算题；阅读型分析： （1）由题意知本题是一个从四个元素中选两个元素的问题，只要用排列数表示出来即可，列举时注意可以按照一定的顺序进行，比如先写出包含 A 的，再写包含 B 的去掉重复的（2）本题和前一个问题是有一定的区别的，上一问选正、副班长各一人包括选出来，安排谁当什么，而本题只是选出三个人即可，与顺序无关解答： 解：（1）选举种数 A42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC 、BD、CD、BA、CA、DA、CB 、DB、DC（2）选举种数 C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD 点评： 排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序
6、则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素4 （10 分） （1981 北京）求函数 f（x）=sinx+cosx 在区间（， ）上的最大值考点： 三角函数的最值 专题： 计算题分析： 把函数 f（x）的解析式提取 ，然后利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用周期公式 T= 求出函数的周期，得到（ ， ）为函数的一个周期，根据正弦函数的最大值为 1 得到 f（x）的最大值即可解答： 解：f（ x）= （sinxcos +cosxsin ）= ，所以 f（ x）以 为振幅，以 2 为周期，区间（ ， ）恰好是 f（x）的一个周期的
7、定义区间，故 f（x ）在区间上取得最大值 点评： 考查学生灵活运用两角和的正弦函数公式化简求值，会求正弦函数的周期和最大值5 （10 分） （1981 北京）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明考点： 正弦定理 专题： 证明题分析： 先写出正弦定理，然后证明先分别作 BC、AC 边上的高线，根据三角形的面积公式分别表示出以 BC、 AC、AB 为底边的面积，然后根据同一个三角形的面积相等得到等式，最后同时除以 可得证解答： 解： 证：引 AD 垂直 BC 于 D；引 BE 垂直 CA 的延长线于 E设ABC 的面积为 S，则 = ； ，将上式除以 ，得： 点评： 本题主要考查正弦定理的
8、证明属基础题6 （10 分） （1981 北京）已知正方形 ABCD 的相对顶点 A（0，1）和 C（2，5） ，求顶点 B 和 D 的坐标考点： 直线和圆的方程的应用；中点坐标公式专题： 计算题分析： 本题可利用正方形在平面坐标系中中心的性质，对角线的斜率乘积为1，进行解题，联立方程，求解即可解答： 解：设 AC 中点为 M（x，y） ，则有 ，M（x，y）=M（1，2） 又设 AC 斜率为 k，则 k=3，因此得 BD 的斜率为 故有直线 BD 的方程： ，又以 M 点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为（x1） 2+（y2） 2=10 （2）解方程（1） 、 （2）得 B、D 的坐标为（4
9、，1）及（ 2，3） （注：用复数法解亦可）点评： 本题考查学生对于直线和坐标系的运用，及直线垂直，中点的关系等，是中档题7 （17 分）设 1980 年底我国人口以 10 亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增 2%，那么到 2000 年底将达到多少？（2）要使 2000 年底我国人口不超过 12 亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？考点： 数列的应用 专题： 应用题分析： （1）由题意知所求人口数 x（亿）x=10（1.02） 20，两边取对数可的答案（2）设人口每年比上年平均递增率最高是 y%，按题意得 10（1+y%） 2012， （1+y% ）201.2由此解可得答案解答：
10、解：（1）所求人口数 x（亿）是等比数列10，101.02， 10（1.02） 2，的第 21 项，即x=10（1.02） 20，两边取对数，得 lgx=1+20lg1.02=1.17200，x=14.859（亿）（2）设人口每年比上年平均递增率最高是 y%，按题意得10（1+y% ） 2012，（1+y%） 201.2根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg（1+y%）lg1.2，即 lg（1+y%）0.00396，1+y%1.0092，y%0.0092点评： 本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用8 （15 分） （1981 北京） ABCDA1B1C1D
11、1 为一正四棱柱，过 A、C、B 1 三点作一截面，求证：截面ACB1对角面 DBB1D1考点： 平面与平面垂直的判定专题： 证明题；综合题分析： 设 AC、BD 交于 O 点，作截面 ACB1、对角面 BB1D1D 以及它们的交线 OB1，要证明截面ACB1对角面 DBB1D1，只需证明截面 ACB1 内的直线 AC 垂直对角面 DBB1D1 内的相交直线BB1、BD 即可解答： 证明：设 AC、BD 交于 O 点，作截面 ACB1、对角面 BB1D1D 以及它们的交线 OB1 如图，由于 AC1 是正四棱柱，所以 ABCD 是正方形，故 ACBD；又 BB1底面 ABCD，故 BB1AC，
12、 AC对角面 BB1D1D，已知 AC 在截面 ACB1 内，故有截面 ACB1对角面 BB1D1D点评： 本题考查平面与平面的垂直，考查逻辑思维能力，是中档题9 （18 分） （1981 北京） （ 1）设抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+k 所得的弦长为 ，求 k 的值（2）以本题（1）得到的弦为底边，以 x 轴上的点 P 为顶点做成三角形，当这三角形的面积为 9 时，求 P 的坐标考点： 直线与圆锥曲线的关系专题： 计算题分析：（1）设出交点坐标，联立直线和抛物线的方程 ，整理，由韦达定理，算出（x 1x2）2， （y 1y2） 2，再有两点间距离公式计算出弦长求出 k（2）设出 P
13、 点坐标，由点 p 到直线的距离求出三角形的高，再由面积公式代入求解，即得解答： 解：（1）设直线与抛物线的交点为 P1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） 解方程组： ，得（2x+k） 2=4x，即 4x2+4（k1）x+k 2=0，故有 x1+x2=1k，x 1x2= （x 1x2） 2=（x 1+x2） 24x1x2= 又因 P1，P 2 在直线 y=2x+k 上，故（y 1y2） 2=4（x 1x2） 2=4（1 2k） 根据题设条件 ，即（12k）+4（12k）=45，解得：k=4（2）设 x 轴上一点 P 的坐标为（ a，0）又点 P 到直线 P1P2 的距离为 h，则有 依题意得PP 1P2 的面积关系： ，即 6=|2a4|，a=5，a=1点评： “设而不求”仍是圆锥曲线问题的常用方法，在第一题的处理中，也可直接用弦长公式 lAB=|x1x2|
