自动控制原理（上）-第2章-控制系统的数学模型

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1、第 2 章 控制系统的数学模型,自动控制原理,Automatic Control Theory,第2章 控制系统的数学模型,2.1 引言,2.2 系统微分方程的建立,2.3 线性系统的传递函数,2.4 控制系统的动态结构图与信号流图,2.5 闭环控制系统的传递函数,2.6 MATLAB中数学模型的表示,2.1 引言,建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。 静态数学模型：在静态条件下，描述变量之间关系的数学表达式称为静态数学模型，例如代数方程、静态关系表等。 动态数学模型：描述各变量动态关系的数学表达式称为动态数学模型，例如微分方程、差分方程、传递函数、频率特性、状态方程、动态结

2、构图等。 建立控制系统数学模型的方法有机理分析建模法和实验建模法两种。 建立合理的数学模型对系统的分析研究至关重要，实际的控制系统，都具有不同程度的非线性、时变特性。,一. 线性系统的微分方程 二.非线性微分方程的线性化,2.2 系统微分方程的建立,一. 线性系统的微分方程,5,应用机理分析建模法建立控制系统的微分方程模型的一般步骤如下:,1）分析系统的工作原理，将系统划分成若干个环节，确定系统和各环节输入、输出变量。 2）从系统的输入端入手，按照信号传递顺序，根据各环节输入、输出变量间所遵循的物理定律，在不影响系统分析准确性的条件下适当简化，依次列写各环节的动态方程，一般是微分方程（组）。

3、3）从以上各环节方程的联立方程组中，消去中间变量。 4）将输出量及其各阶导数写在等式左端，输入量及其各阶导数写在等式右端，按降阶排列，并将各项系数化为具有一定物理意义的形式，成为标准化的系统微分方程。,一.线性系统的微分方程,6,【例2-1】RC 无源网络如图2-1所示，其中R 为电阻，C 为电容，试建立以为输入，为输出的RC网络微分方程。,解 设中间变量为回路电流，根据基尔霍夫定律可得如下方程组,消去中间变量i(t)有：,如果令RCT，则上式)又可表示为,一.线性系统的微分方程,7,【例2-2】弹簧-质量-阻尼系统如图2-2所示，其中F(t)为外作用力，m为物体M的质量，k为弹簧的弹性系数，

4、f是阻尼器的阻尼系数，y(t)为物体的位移，试建立以外作用力F(t)为输入，物体M的位移y(t)为输出的微分方程关系式。,解 由系统结构及牛顿第二定律有,消去中间变量有,如果令,则可将微分方程式标准化为,一.线性系统的微分方程,9,【例2-3】机械转动系统如图2-3所示，试求输入转矩Mf(t)和输出转角q(t)、输入转矩Mf(t)和输出转速w(t)的微分方程。,解 牛顿第二定律有,其中 是角加速度。,一.线性系统的微分方程,10,【例2-4】电枢控制它励直流电动机如图2-4所示，试求以电枢电压为输入，电动机转速为输出的微分方程关系式。,解 根据电动机的工作原理，由输入端入手，可依次列写微分方程

5、组。,消去中间变量有,由于工程实际应用中电动机的电枢电路电感La较小，通常可忽略不计，所以上式可降阶简化为一阶微分方程,令 ， ， ，则直流电动机的微分方程可以进一步简化为,二.非线性微分方程的线性化,12,严格地说，几乎所有的实际物理系统都是非线性的。描述非线性系统的非线性微分方程没有一种完整、成熟、统一的解法，不能应用叠加原理。,对非线性进行处理最简便的方法就是直接忽略。当物理元器件的非线性特性对系统影响很小，就可以忽略其非线性影响，将这些物理器件看成是线性元件。 对非线性处理更好的方法是采用小偏差法（或者叫切线法）对其非线性数学模型进行线性化。这种方法适合于具有连续变化的非线性特性，在一

6、个很小的范围里，将非线性特性用一段直线线性特性来表示。,二.非线性微分方程的线性化,13,对于如图2-5所示的连续变化的非线性特性，设其非线性特性函数为y=f(x)，在其相应的工作点A(x0,y0)附近用泰勒级数展开，即将y=f(x)展开为,在“小偏差”条件下，将泰勒级数展开式中的高次幂项略去，只保留一次幂项,即,记系数,，即曲线在A点的斜率，则有,二.非线性微分方程的线性化,14,具有连续变化特性、可以用“小偏差法”进行线性化的非线性特性称为非本质非线性特性，例如图2-5所示的特性。相反，如图2-6所示的非线性特性或其组合则称为本质非线性特性。对于一些非线性特性严重，具有本质非线性特性的物理

7、元器件或系统，不能够用小偏差法进行线性化处理，需要采用非线性系统的研究方法。,二.非线性微分方程的线性化,15,【例2-5】 图2-7所示水箱，输入量为流入量Q1(t)，输出量为水箱水位h(t)，写出水箱的动态方程式，其中水箱截面积为A。,解 分析水箱工作状态可知,式中a为常数，取决于流出管路的阻力，将上两式合并，有,流出量Q1(t)是水位h(t)的非线性函数,(2-23),(2-24),(2-22),二.非线性微分方程的线性化,16,式(2-23)的非线性关系可以采用小偏差法进行线性化。设水箱的稳定工作点为A(Q20，h0)，根据小偏差法有,即,简化并标准化得到,将式(2-22)也改写为增量

8、形式，并将式(2-26)代入，消去中间变量，就得到,(2-26),其中 ，是水箱在工作点处水流管路的阻力系数，称为液阻,2.3 线性系统的传递函数,17,一.传递函数 二.传递函数的性质 三.传递函数的求法 四.典型环节的传递函数,一.传递函数,18,设线性定常系统可由如下n阶微分方程模型描述式所示,对上式等号两边进行拉普拉斯变换，得到,则线性定常系统的传递函数为,一.传递函数,19,常用的控制系统传递函数的表示形式主要有三种。,1.多项式表示形式,2.零、极点表示形式,3. “时间常数”表示形式,二. 传递函数的性质,20,（1）传递函数概念只能应用于线性定常系统的分析和研究，系统传递函数与

9、系统微分方程是唯一对应的。 （2）传递函数只取决于系统的结构和参数，与系统的输入形式和大小无关，并且不反映系统的物理结构。 （3）传递函数是复变量s的有理真分式，其分子的阶次总是小于或等于分母的阶次，即mn。 （4）已知系统的传递函数，可以求得系统的微分方程。如果给定了输入和初始条件，可以求得系统的全响应。 （5）传递函数与输入量的形式、大小无关，但是与输入量的作用点有关，应分别求取每个输入量与系统输出量的传递函数。若系统是多输入、多输出的，则需由传递函数矩阵描述。 （6）传递函数的拉普拉斯反变换是系统单位脉冲响应函数。,三.传递函数的求法,21,1）确定系统和各组成环节的输入、输出变量，根据

10、遵循的工作原理，列写各环节动态微分方程（组）。 2）在零初始条件下对各微分方程进行拉普拉斯变换，得到环节在s域的拉普拉斯变换方程组。 3）消去中间变量，得到关于系统输入、输出变量之间关系的s域代数方程。 4）根据传递函数的定义，由输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换相比，就得到系统的传递函数。 如果已经建立了系统的微分方程，则可在零初始条件下对微分方程进行拉普拉斯变换，按定义得到其传递函数。,1传递函数的建立 传递函数是通过拉普拉斯变换由微分方程模型得到的，建立传递函数的一般步骤为,三.传递函数的求法,22,【例2-6】试求例2-1中RC无源网络的传递函数 Uy(s)/Ur(s),解 由

11、例2-1中可知RC无源网络的微分方程为,由传递函数的定义，就得到RC无源网络的传递函数为,在零初始条件下，对上述微分方程进行拉普拉斯变换，得到,三.传递函数的求法,23,【例2-7】试求例2-2中弹簧-质量-阻尼系统的传递函数F(s)/Y(s),解 由例2-2中可知弹簧-质量-阻尼系统的微分方程为,由传递函数的定义，就得到系统的传递函数为,在零初始条件下，对上述微分方程进行拉普拉斯变换，得到,三.传递函数的求法,24,【例2-8】试求例2-4电枢控制它励直流电动机的传递函数。,解 在例2-4中已求得电枢控制它励直流电动机简化后的微分方程式为,令ML(s)=0，则电枢电压和输出转速之间的传递函数

12、为,在零初始条件下，对上述微分方程进行拉普拉斯变换，得到,三.传递函数的求法,25,令Ua(s)=0，则负载干扰转矩和输出转速之间的传递函数为,因 ，则电枢电压和输出转角之间、负载干扰转矩和输出转角之间的传递函数为,三.传递函数的求法,26,2. 由复阻抗求电路的传递函数,无源网络和运算放大器常用作控制系统的校正装置，可以利用电路复阻抗概念，方便地求得它们的传递函数。,【例2-9】求图2-10所示RC无源网络的传递函Uy(s)/Ur(s) 。,解 由电路相关知识有,由复阻抗分析法有,三.传递函数的求法,27,联立上两式有,无源网络的输出电压为,联立上两式，RC无源网络的传递函数为,三.传递函数

13、的求法,28,【例2-10】 求图2-11和图2-12所示运算放大器的传递函数。,解 根据电子技术知识，可知A点是虚地点，由此可得图2-11所示电路的传递函数为,图2-11所示电路的传递函数为,四.典型环节的传递函数,29,1. 比例环节,比例环节是控制系统中最基本、最常见的一类典型环节，其动态方程为代数方程,K为常数，称为放大系数或增益，则比例环节的传递函数为,从比例环节的数学模型可以看到，它的输出是以K倍幅值对输入信号进行无延迟、无失真的复现。如果输入图2-13a所示阶跃信号，则比例环节的输出如图2-13b所示，可以看到，输出信号和输入信号的波形相同，且没有延迟。,四.典型环节的传递函数,

14、30,【例2-11】试求图2-14所示电位器的传递函数。,解 图2-14所示电位器是一个将角位移或线位移转换成电压信号的装置，在空载时，电位器的角位移与输出电压的关系为,其中E是电源电压 ， 是电位器最大工作角度，则 是电位器传递系数。,对上式进行拉普拉斯变换，得到电位器的传递函数为,四.典型环节的传递函数,31,【例2-12】 试求图2-15所示误差检测器的传递函数。,解 误差检测器的输出电压为,其中K为电位器的传递系数， 是两个电位器电刷滑臂角位移之差，称为误差角，如果以误差角为输入信号，误差检测器的输出电压u(t)为输出信号，则由上式可得误差检测器的传递函数为,四.典型环节的传递函数,3

15、2,【例2-13】试求图2-16所示直流测速发电机的传递函数。,解 直流测速发电机常常用作控制系统的反馈部件，它是将角速度转换为电压信号的装置，测速发电机的转速越大，则输出的电压就越大，由图2-16有,则测速发电机的传递函数为,四.典型环节的传递函数,33,2. 积分环节,当输出信号与输入信号的积分成正比时，称其为积分环节。设为输入，为输出，则积分环节的动态方程为,式中T称为积分时间常数，K=1/T称为积分速度或积分系数。则积分环节的传递函数为,如果输入图2-17a所示阶跃信号，则积分环节的输出如图2-17b所示。积分特性可能存在于被控对象中，积分特性也常用作改善系统性能的辅助控制作用。应注意的是，积分环节具有饱和的特点，以上线性变化的阶跃响应及其记忆特性都是饱和前的特性。,四.典型环节的传递函数,34,3. 微分环节,理想微分环节的动态方程为,其中Td是微分环节的微分时间常数，则理想微分环节的传递函数为,如果输入图2-18a所示阶跃信号，则理想微分环节的输出如图2-18b所示，理想微分环节的阶跃响应是一个面积为的脉冲信号 。理想微分环节动态特性在实际情况中是较难实现的，被控对象不可能具有微分特性，但常利用微分特性作为改善系统性能的又一辅助控制作用。,四.典型环节的传递函数,35,实际情况中多用具有近似微分特性的实际微分环节来代替理想微分环节，如图2-19a所示R