李雅普诺夫稳定性(2)

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1、第二章 Lyapunov理论基础,稳定性是控制系统关心的首要问题。 稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动，那么就把该系统描述为稳定的。 例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作动态稳定性的一般问题，并于1892年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非线性系统在一个平衡点附近的局部稳定性的结论。 2.直接法：不限于局部运动，它通过为系统构造一个“类能量”标量函数并检查该标量函数的时变性来确定非线性系统的稳定性质。,2.1 稳定性概念,几个简化记法：令 表示状态空间中由 定义的球形区域， 表示由 定义的球面本

2、身。 1、稳定性和不稳定性 定义：如果对于任何 ，存在 ，使得对于所有的 ，如果 ，就有 ，则称平衡点 是稳定的，否则，就称平衡点是不稳定的。 或者： 对于线性系统，不稳定等于发散；对于非线性系统，不稳定不等于发散。,图2-1 稳定性概念,例2.1 范德堡振荡器的不稳定性 对于范德堡方程,转换成状态方程描述,很容易证明该系统在原点处有一个平衡点。 并且是不稳定的。,从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近一个极限环。这意味着如果选择稳定性定义中的 为足够小，使得半径为 的圆完全落入极限环的封闭曲线内，那么在靠近原点处开始的系统轨线最终将越出这个圆,因此原点是不稳定的。,2、渐近稳定性与

3、指数稳定性,在许多工程应用中，仅有稳定性是不够的。 定义：如果某个平衡点0是稳定的，而且存在某一 ，使得 ，当 时， ，那么称平衡点是渐近稳定的。 平衡点的吸引范围是指：凡是起始于某些点的轨线最终都收敛于原点，这些点组成的最大集合所对应的区域。 注意：收敛并不意味着稳定。 （见图）,定义：如果存在两个严格正数 和 ，使得围绕原点的某个球内 ， 那么称平衡点0是指数稳定的。 也就是说，一个指数稳定的系统的状态向量以快于指数函数的速度收敛于原点，通常称正数 为指数收敛速度。 指数收敛性的定义在任何时候都为状态提供明显的边界。 把正常数 写成后 ，不难看到，经过时间 后，状态向量的幅值减小到原值的

4、，与线性系统中的时间常数相似。,例1：系统 它的解是： 以速度 指数收敛于 。 例2：系统 它的解为 ，是个慢于任何指数函数 的函数。 3、局部与全部稳定性 定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的，也称为全局渐近（或指数）稳定的。,2.2 线性化和局部稳定性,李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。 Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基本上是合理的。 对于自治非线性系统 ，如果 是连续可微的,那么系统的动态特性可以写成( )： 用 表示在 处 关于 的雅可比矩阵： 原非线性系统在平衡点0处的线性化结果为：

5、,对于一个具有控制输入 的自治非线性系统： 有： 对于闭环系统，同样可以得出上述结论。 例2.2 考虑系统 在 处线性化。,线性化结果：,定理：（李雅普诺夫线性化方法） 1、如果线性化后的系统是严格稳定的（即如果 的所有特征值都严格在左半复平面内），那么平衡点是渐近稳定的（对实际的非线性系统）； 2、如果线性化后的系统是不稳定的（即如果 的所有特征值至少有一个严格在右半复平面内），那么平衡点是不稳定的（对实际的非线性系统）； 3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即如果 的所有特征值都在左半复平面内，但至少有一个在 轴上），那么不能从线性近似中得出任何结论（其平衡点对于非线性系统可能是稳定的，渐

6、近稳定的，或者是不稳定的）。,例：对于一阶系统 原点是这个系统的两平衡点之一。这个系统在原点附近的线性化是： 应用李雅普诺夫线性化方法，得出该非线性系统的下述稳定性性质： （1） 渐近稳定； （2） 不稳定； （3） 不能从线性化说明系统稳定性性质。 在第三种情况下，非线性系统为 这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。,例：证明下面单摆的平衡状态 是不稳定的。 式中 为单摆长度， 为单摆质量， 为铰链的摩擦系数， 是重力常数。(系统的平衡点是什么？) 在 的邻域内 设 ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是 因此，该线性近似是不稳定的；近而该非线性系统在平衡点也是不稳定的。,李雅普诺夫线性化定理

7、说明 线性控制设计存在一致性问题，人们必须设计控制器使系统保持在它的“线性范围”里。它也说明了线性设计的主要局限性：线性范围到底有多大？稳定范围是什么？,2.3 李雅普诺夫直接法,李雅普诺夫直接法的基本原理是对于下述基本物理现象的数学上的扩展：如果一个机械（或电气）系统的全部能量是连续消耗的，那么该系统无论是线性的还是非线性的，最终必定稳定至某个平衡点。 非线性质量阻尼器弹簧系统， 动态方程是 整个机械系统的能量是它的动 能和势能之和,建立了能量与稳定性的关系。稳定性与机械能的变化有关 李雅普诺夫直接法建立在把上述概念推广到更复杂系统的基础上。 一、正定函数和李雅普诺夫函数 定义：一个标量连续

8、函数 ，如果 ，而且在一个球 内 那么称函数 为局部正定的。,局部正定函数的几何意义：对于具有两个状态变量 和 的正定函数 ，在三维空间中画出 ，它典型地对应于一只看起来象向上的杯子的曲面，杯子的最低点位于原点。 同样可以定义：负定、半正定、半负定等一些概念。,定义：如果一个球域内 ，函数 为正定的且具有连续偏导数，而且如果它沿着系统 的任何轨迹线的时间导数是半负定的，即 那么称 为系统的李雅普诺夫函数。,几何解释：表示 值的点总是指向杯底，或指向越来越小的 值等高线。 二、平衡点定理 李雅普诺夫直接法的几个定理建立起李雅普诺夫函数与系统稳定性之间的精确关系。 1、局部稳定性的李雅普诺夫定理

9、定理（局部稳定性）：如果在球域 内，存在一个标量函数 ，它具有连续的一阶偏导数，使得： （1） 为正定（局部地）； （2） 为半负定（局部地）。 那么平衡点0是稳定的。如果实际上导数 在 域内局部负定，那么稳定性是渐近的。,例：局部稳定性 具有粘滞阻尼的单摆由下列方程描述 判断系统在原点的局部稳定性。 考察下列标量函数： 它的时间导数 可以得出原点是稳定的平衡点的结论。 不能得到关于系统渐近稳定性的结论，因为 仅仅半负定。,例：研究非线性系统 在它的以原点为平衡点处附近的稳定性。给正定函数 它沿任何系统轨线的导数 是 这样， 在二维球域 里（即在由 定义的区域里）就是局部负定的。因此，根据上面

10、的定理，原点是渐近稳定的。,2、全局稳定性的李雅普诺夫定理 为了断定一个系统的全局渐近稳定性，必须将 扩展为整个状态空间；还有 必须是径向无界的，即 （换句话说，当从任何方向趋向无穷远时）， 。 定理（全局稳定性）：假设存在状态 的某个具有连续一阶导数的标量函数 ，使得： （1） 是正定的， （2） 为负定的， （3）当 时， 。 那么平衡点0是全局渐近稳定的。,径向无界性条件在于保证等值曲线（或高阶系统情况下的等值曲面） 对应于封闭曲线。如果该曲线不是封闭的，即使状态保持穿过对应于越来越小的 的等值曲线（面），状态轨线仍可能从平衡点漂移。 例如，对于正定函数 当 时，曲线 是开曲线。 下图说

11、明状态向“能量”越来越低的曲线移动时的发散现象。,例：一阶非线性系统 式中， 是任何一个与它的标量自变量 有相同符号的连续函数，即 选李雅普诺夫函数为 当 时 ， 趋向于无穷， 它函数是径向无界。它的导数是 是一个全局渐近稳定的平衡点。,对于,例： 考虑系统 状态空间的原点是这个系统的平衡点，设 是正定函数 沿任何系统轨迹的导数是,它是负定的。因此，原点是全局渐近稳定平衡点。,3、注释 对于同一个系统可以存在许多李雅普诺夫函数。例如，如果 是一个李雅普诺夫函数，那么下面的 也是李雅普诺夫函数： 此处 是任意严格正常数， 是任何大于1的标量。 与 的正定，负定和径向无界的特性是一致的。 注意：对

12、于一个给定的系统，特别选择的李雅普诺夫函数可能比其它的李雅普诺夫函数产生更精确的结果。 对具有粘滞阻尼的单摆，选李雅普诺夫函数,它的导数为 是局部负定的。 虽然修正过的 没有明显的物理意义，但它却能够证明单摆的渐近稳定性。 注意：李雅普诺夫分析中的定理都是充分性定理。,作业：为下面系统找一个平衡点，并确定稳定性，指出稳定性是否为渐近的以及是否为全局的。,三、不变集定理 定理的中心概念是不变集的概念。 定义：如果每条起始于集合中某点的系统轨线在任何未来时间里都保持在该集合内，那么该集合称为动态系统的一个不变集。 1、局部不变集定理 不变集定理反映了一种直觉概念，即李雅普诺夫函数 必须逐渐减小至0

13、（即 必须收敛于0），因为 是有下界的。 定理（局部不变集定理）：对自治系统 ， 是连续的，而且令 为具有连续偏导数的标量函数，假设： （1）对于某个 ，由 定义的区域 是有界的； （2）对所有 中的 ， 。,令 为 中的所有 的点的集合，而 为 中最大的不变集；那么，当 时起始于 内的每一个解 趋向于 。 例：研究非线性系统 在它的以原点为平衡点处附近的稳定性。给正定函数,沿任何系统轨迹的导数是,对于 ，由 定义的区域 是有界的。集合 只是原点0，它是一个不变集（因为它是一个平衡点）。局部不变集定理的所有条件都满足，因而任何起始于这个圆内的轨线都收敛于原点。这样，根据不变集定理就明显地确定了

14、该系统的吸引范围。,例：吸引极限环，考察系统 由 定义的集合是不变的，因为在该集合中 为0。在不变集的运动由下面方程之一等价地描述 因此，可以看到不变集实际上代表一个极限环。,判断极限环的吸引性。定义一个侯选李雅普诺夫函数 它表示到极限环的距离的量度。可用不变集定理判断收敛性。,这样 是严格负的。除了在,情况下，,集合 就是由它们的并集组成。 假如取 ，原点不属于 ，现在的集合 正是极限环。用不变集定理证明了极限环的渐进稳定性；同时意味着原点处的平衡点是不稳定的。,推论：对 是连续的自治系统 ，令 是一个具有连续偏导数的标量函数，假设在原点的某一邻域 内，有： （1） 是局部正定的； （2）

15、是半负定的； （3）由 定义的集合 不包含除平凡轨迹 之外的系统轨线。那么，平衡点0是渐近稳定的。而且，在 内形式为 （由 定义）的最大连通域是这个平衡点的一个吸引范围。,内的最大不变集 就只包含平衡点0。注意下列各点： a、上述推论用 为半负定的条件，以及关于 内轨线的第三个条件代替了李雅普诺夫局部渐近稳定性定理的负定条件。 b、在 内的最大连通域 是平衡点的一个吸引范围，但不一定是整个吸引范围，因为函数 不是唯一的。 c、集合 本身不一定是一个吸引范围。实际上，上面的推论不保证 是不变的，某些起始于 内但在 之外的轨线，实际上可能终止于 之外。 2、全局不变集定理 把所涉及的区域扩大到整个空间并要求标量 具有径向无界性，可对上述定理进行推广。（略）,例：对具有下面形式的一个二阶系统： 其中， 和 是满足下面符号条件的连续函数： 对于 对于 分析其在原点的稳定性。取李雅普诺夫函数为： 可以把它看成系统的动能和势能之和。,根据假设，仅当 时 。 意味着,只要 ，它就不等于0。系统不能在 之外的任何平衡值上停住。,中的最