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1、A（一）学习指导第一章函数和极限一、关于函数的四个特性1 函数的有界性定义1 设在数集A上有定义，若，,有，则称在A上为有界函数，否则，即，,有，则称在A上为无界函数.几何上，若能找到两条平行的关于x轴对称的水平直线 ，使在A上的图像夹在两直线之间的，则称在A上为有界函数而无界函数是找不到具有上述性质的两条平行水平直线的分析上，若证明在A上有界，则只要找到一正数M，使，有即可而若证明在A上无界，则，由，只要找A上一点，使即可这个既可由不等式解x求得，又可用观察法定义2 设在数集A上有定义，若，有，则称在A上是有上界，下界的有界函数若，有（或），则称在A上是有上界（或下界）的函数例1 证明在上为
2、有界函数；在上是无界函数证 因，有，故，有即在上为有界函数当时，由，于是，有故在上为无界函数例2 证明在上为无界函数证:，由，因，令，有，故在上为无界函数2 函数的单调性定义:若，有（或），则称在A上为严格单调上升（或单调下降）函数，简称单调上升（或单调下降）函数，用（或）表示注：在A上单调下降的箭头表示不可为“”若，有（或），则称在A上为一般单调上升（或单调下降）函数在书本中若无特殊说明，函数单调性讨论都指严格单调性的讨论对数列：若有（或），则称为单调上升（或下降）数列若有（或），则称为一般单调上升（或下降）数列注：验证一个函数在区间A上的单调性，根据定义，必须在A上任取两点来比较其函数值大
3、小（在第三章可用导数符号来讨论函数单调性）例3若在上为偶函数，又在上。 证明在上。证:，因为偶函数，又在上，所以，故在上3 函数的奇偶性定义：若在对称区间A上有定义，此时，有（或），则称在A上为奇函数（或偶函数）几何上，若在A上为奇（或偶）函数，则在A上的图像关于原点（或y轴）对称在对称区间A上非奇非偶函数的判定：几何上，若曲线在A上图像既不关于y轴对称，又不关于原点对称，则在A上必是非奇非偶函数分析上，它是奇偶性定义的否定命题因此只要验证，使得，同时，则在A上为非奇非偶函数注意：上述两式绝不是，由函数的奇偶性的几何特性，可以容易地把定义在上的函数在进行延拓，以得到一个新的函数，使在上为奇函数
4、或偶函数把，作关于原点对称的图像，如图所示于是在上为奇函数图图把，作关于y轴对称图像，如图所示于是在上为偶函数例4 讨论下列函数的奇偶性：（，它是以一个特殊无理数为底数的对数函数）解：， 故在上为奇函数解：， 故在上为偶函数注：是奇函数但对不要因看到指数3就误认为是奇函数解：， 故在是非奇非偶函数注：下面证明对吗：因，故为非奇非偶函数4 函数的周期性定义：设的定义域为一无限区间，例如：若，有，则称是周期为T的函数一般说来，高等数学中讨论的周期T都是指最小正周期例如：的周期为如果的周期为T，则都为周期，即如果的周期为T，则只要知道在一个长度为周期的区间（例如：或）上的表达式，就可利用周期性知道在
5、其定义域内所有点的函数值例5 是周期为的奇函数，在上的函数值已知，例如：，则图例6 设周期为1，时，试作出在上的图像，并求：；解：在上的图像如所示，例7 设，试证明是周期为1的函数，并求证：因， ， 故是周期为1的函数注：是不超过x的最大整数，而是表示一个正小数或零，并且，当时，因此，就是例6中的函数二、函数和复合函数1 函数定义设有非空数集和实数集若，按某一法则f，总能对应R中唯一实数y，则称对应法则f为定义在A上的函数一般用数学记号表示如下：f： 其映射图如图所示图注：函数定义两个要素：定义域和对应法则如果两个函数有相同的定义域和相同的对应法则，不管变量采用什么记号，都应视为同一函数例如：
6、，是同一正弦三角函数，可记为，不同的函数一般可用不同对应法则所表示的不同字母来表示如用等表示2 分段函数分段函数是表示一个函数，并且是在自变量x的不同范围内对应法则f用不同式子表示的一个函数常见分段函数有两种形式：；式中，是x的一个表达式，是分段函数的交接点3 复合函数定义：设的定义域为U，而的定义域为A，值域为，并且，则在A上称是的以中间变量为的复合函数记为复合函数：其映射图如图所示图注：的定义域A的确定是使有意义的x全体把一个复合函数分解成几个简单函数的复合例如：，它由，复合而成(，)称为2的指方，不是的x指方即它由，复合而成注：对吗？设，是两个x的表达式，称为幂指函数，它由，复合而成恒等
7、式务必熟记以后对进行分析运算时，往往化为对的分析运算把几个简单函数复合成一个函数例1 ，求：；解：，故例2 设，求：；解：求时，应根据分段函数自变量的分段情况，对的值域进行分段讨论，从而确定自变量的分段情况，时，；，时，故，求时，只要根据的分段情况来讨论即可求时，根据的自变量x的分段情况确定相应的值域范围，结合的分段情况得到相应时，此时，有；，有故时，；时，；时，故；时，有，；，有，故 由复合函数求函数由求有两种方法：令，解，于是，；把化为，则例3 设，求解：令，于是，故例4 设，求解：由解x较繁，可由凑表达式，因，故例5 设，且，求及其定义域解：因为，又因为，其定义域为，故三、正确表达和理解
8、极限定义中的逻辑关系1 数列极限的定义若时，称是极限为A的收敛数列，记为要反映这两个无限接近的分析定义为：，有其中：正数首先具有任意性，只有这样，由才能反映数列无限接近于A，为此，以小为贵其次，正数还具有相对固定性，即一旦给出一些充分小的正数，就应把暂时看作固定不变，此时，就可以由确定相应的N为此有等价定义1：若（,为某一正数），有，则 正整数N表示时和A接近的程度如所述，对任意给定的，由可确定N因此，一般说来，N是随的变化而变化的，并且，当取越小的正数时，相应的N就越大另外，在定义中，有，没有要求第N项以前的非要因此，此N不是唯一的即如果，有，那么，比N大的任一正整数仍然满足定义要求为此有等
9、价定义2：若，有，则 由于为任意给定的正数，所以，等也是任意给定的正数（其中M为某一正常数）为此有等价定义3：若，有，则 对于两个不同的收敛数列，分别无限接近于A，B都可用同一尺度来衡量，但是接近的程度，即N的选取，一般说来是不相同的所以，若有，则，有；，则，有， 下列叙述极限定义是错误的：（）因为，所以；或，有；或，有（）因为；或，有；或，有，所以2 函数极限定义的“”，“”语言：，有；左极限，即：，有；右极限，即：，有特别地，当时，记为注：当时， ：，有单侧极限：，有：，有注：在有无极限和在有无定义毫无关系单侧极限不能记为不是函数值，它是在的左右极限3 两个结论由此当，至少有一个不存在时，
10、或当时，则不存在由此当，至少有一个不存在时，或当时，则不存在4 熟练掌握并应用极限的三大性质（特别是保号性）唯一性：数列：若收敛于A，则A是唯一的函数：若或，则A是唯一的有界性和局部有界性：有界性：若是收敛数列，则必是有界数列，反之不然局部有界性：（）若，则，有（）若，则，有保号性：数列：若，则，有推论：（）若，则，有（）若，则，有（）若，又，有（或），则函数：以为例若，则，有推论：（）若，则，有（）若，则，有（）若，又，有（或），则例1若，证明是的一个极小值证：因，由保号性知：，有，即故是的一个极小值5 利用极限定义验证极限的方法以和为例：方法一（直接法）：若关于n的表达式比较简单，就可以直
11、接由解，此时，令即可（若解出，则肯定是错误的）若关于的表达式比较简单，就可以直接由解，此时，令即可（由不是解x的不等式，而要解的不等式若解出，则肯定是错误的）例2试利用定义证明下列极限：当时，；。证当时，自然收敛于0；当时，由，因，故当时，于是 ，有故当时，从而当时，都有，因时，于是，有即（由于关于x的表达式比较简单，但由解较为困难现利用左右极限来证明）先证：，当时，故，有即再证：，当时，时，于是 ,，有即因，故，由，当时，于是 ，有即注：同理可证由于，所以不存在方法二（适当放大技巧）：若关于n的表达式比较复杂，即由解n不简便，则可利用适当放大技巧即若，有且满足：（）；（）关于n的表达式比较简
12、单，即由解方便于是若关于的表达式比较复杂，即由解不简便，则可利用适当放大技巧即首先选取适当（注意“适当”，一般以小为妥），有（注意：此不等式不要求对所有x成立，只要求在内成立即可）且满足：（）；（）关于的表达式比较简单，即由解方便，则令在利用适当放大技巧证明极限时，会正确使用下列不等式：（）若，则；（）对：若要放大，有；若要缩小，有例3试利用定义证明下列极限：；有； ；证：，故，有即，由，因，令当时，有，故，有即，由，令当时（如图所示），有，故，有，即图，由，故，有即6 关于无穷大和无穷小定义若（或），则称数列是无穷小数列（或无穷大数列）；若（或），则称当时为无穷小（或无穷大）；若（或），则称当时为无穷小（或无穷大）说明讨论函数为无穷小或无穷大时，必须注明自变量的变化情况当时，为无穷小，则表明在有一特殊极限为0当时，为无穷大，则表明在是没有极限的一种特殊情况的语言：，有的语言：，有的语言：，有极限和无穷小关系以为例，其中无穷小和无穷大关系以为例若，则；反之，若，在的某去心邻域不为0，则利用定义证明无穷大的方法以为例：方法一：利用与无穷小的关系，只要利用定义证明即可方法二：直接法若关于表达式的比较简单，可直接由解，于是令方法三：适当缩小技巧若，时，且满足：（）；（）由解比较简便，于是令例4试利用适当缩小技巧证明：证，由，令时，此时，故，有即无穷大和单侧极限，左右极限的关系，
