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1、1第 1 课时平面向量的概念与表示1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念和向量的几何表示.3.理解相等向量的含义及向量的一些概念.4.理解零向量的特点.一只帆船刚开始在风平浪静的海上行驶,但突遇“热带风暴”,使得它的航向发生了偏移,没有按照规定的航向行驶,虽然行驶了相同的路程但没有到达目的地.为什么?问题 1:向量的概念、向量与数量、向量与有向线段的区别:在数学中,把既有大小又有方向的量叫作.如: 等. 数量与向量的区别:只有大小没有方向,是一个代数量, 比较大小、进行 运算;有方向、大小的双重性, 比较大小,向量的大小是一个数量(正数或0),可以比较大小. 向量与有向线段的区别:有向
2、线段是具有的线段,有向线段 AB 记作: ,起点一定写在终点的前面;的长度也叫作 的长度;有向线段的三要素: 、 ; 向量只有和方向两个要素,与 无关;向量可以用有向线段来表示. 问题 2:向量的表示方法:几何表示法:用表示,即用表示向量的有向线段的 来表示,如图,以 A 为起点, B 为终点的向量表示为向量 ; 字母表示法:向量可以用小写字母来表示,书写时用 , , 等表示(印刷时用黑体字a、 b、 c 表示),如图,向量 可表示为 a.问题 3:向量的有关概念:(1)向量的模:向量 的大小,也就是向量 的长度(或称模),记作 ,向量不 能比较大小,但向量的 可以比较大小 . (2)零向量与
3、单位向量:长度为零的向量叫作零向量,记作 0.(3)长度等于 的向量叫作单位向量 . (4)平行向量: 方向 的两个非零向量叫作平行向量(也称共线向量); 规定向量 0 与任一向量平行 . 2(5)相等向量与相反向量: 的两个向量是相等向量; 的两个向量互为相反向量 . 问题 4:平行向量(共线向量)与平行线段、共线线段的区别:平行向量(共线向量)不是几何图形,没有几何位置关系,表示两个非零平行向量的有向线段可以 ,也可以在 ;平行线段和共线线段是几何图形,有位置关系,两条平行线段所在的直线一定 ,不会共线,反过来,两条共线线段一定在 ,不会平行 . 1.给出下列物理量: 质量; 速度; 力;
4、 位移; 路程; 密度; 功 .其中是向量的有( ).A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个2.已知 a,b 为两个单位向量,下列结论正确的是( ).A.a=b B.a=b 或 a=-bC.若 a b,则 a=b D.|a|=|b|3.下列命题中,正确的序号是 . 平行向量的方向相同; 不相等的向量一定不平行; 零向量只能与零向量相等; 若两个向量在同一条直线上,则这两个向量一定共线; 两个非零向量相等,当且仅当它们的模相等且方向相同; 单位向量都相等 .4.一辆货车从 A 点出发向东行驶了 150 km 到达 B 点,然后又改变方向向北偏东 30走了300 km 到达 C 点,最后又改变方
5、向,向西行驶了 150 km 到达 D 点 .(1)作出向量 , , ;(2)求 | |.与向量相关的概念关于向量有下列说法: 方向相同或相反的非零向量是平行向量; 长度相等且方向相同的向量叫相等的向量; 有公共起点的向量叫共线向量; 零向量与任一向量共线; 若 |a|=|b|,则 a=b 或 a=-b.其中正确说法的序号是 . 3相等向量与共线向量如图,四边形 ABCD 是正方形, BCE 为等腰直角三角形 .(1)找出图中与 共线的向量; (2)找出图中与 相等的向量;(3)找出图中与 | |相等的向量;(4)找出图中与 相等的向量 .向量概念的实际应用已知飞机从甲地向北偏东 30的方向飞
6、行 2000 km 到达乙地,再从乙地向南偏东 30的方向飞行 2000 km 到达丙地,再从丙地向西南方向飞行 1000 km 到达丁地,问丁地在甲2地的什么方向?丁地距甲地多远?下列说法中正确的是 . 若 |a|b|,则 ab; 共线向量一定相等; 起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; 若 |a|=0,则 a=0; 与非零向量 a 共线的单位向量是 .|4如图,四边形 ABCD 中, = ,N、 M 分别是 AD、 BC 上的点,且 = .求证: = . 已知两个力 F1,F2的方向互相垂直,且它们的合力 F 的大小为 10 N,其与力 F1的夹角是60,求力 F1,F2的大
7、小 .1.设 O 为等边三角形 ABC 的中心,则向量 , , 是( ).A.有相同起点的向量 B.平行向量C.模相等的向量 D.相等的向量2.下列各命题中,正确的是( ).A.若 |a|=|b|,则 a=b B.若 |a|=|b|,|b|=|c|,则 a=cC.若 |a|=|b|,则 ab 或 a-b D.若 a=b,b=c,则 a=c3.下列说法正确的是 . 相等的向量,若起点不同,则终点一定不同 与非零向量共线的单位向量有两个 不相等的向量一定不平行4.如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心 .(1)模与 的模相等的向量有多少个?(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量 ?(3
8、)请写出与 共线的向量有哪些 ?5(2013 年四川卷)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O, + = ,则 = . 考题变式(我来改编):6答案第二章 平 面 向 量第 1 课时 平面向量的概念与表示知识体系梳理问题 1: 向量 力、速度、加速度、位移 数量 能 代数 向量 不能 方向 线段 AB 有向线段 起点 方向 长度 大小 起点问题 2: 有向线段 起点与终点字母问题 3:(1)| | 模 (3)1 个单位 (4)相同或相反 (5)大小相同,方向相同 大小相同,方向相反问题 4:平行 同一条直线上 平行 同一条直线上基础学习交流1.B 判断一个量是不是
9、向量,就是看它是否同时具备向量的两个要素:大小和方向 .由于速度、位移、力都是由大小和方向确定的,所以是向量;而质量、路程、密度、功有大小而没有方向,所以不是向量 .2.D 单位向量的模为 1,但方向不确定 .3. 根据平行向量的定义,它们的方向可以相反,故 不正确;由于模不相等的向量,它们也可以共线,故 不正确;由于零向量只能与零向量相等,故 正确;由共线向量的定义知,当两个向量在同一条直线上时,这两个向量不论方向如何,它们一定共线,故 正确,但是应注意当两个向量共线时,它们却不一定在同一条直线上;由两向量相等的定义知, 正确;虽然单位向量的模都相等,但它们的方向可以不相同,因此 不正确 .
10、4.解:(1) , , 如图 .(2)由图可知 和 方向相反 ,故 与 共线 . 又 | |=| |=150 km, 所以 AB CD,所以四边形 ABCD 是平行四边形,故 | |=| |=300 km. 重点难点探究7探究一:【解析】共线向量或平行向量是指方向相同或相反的两个非零向量,所以 正确, 不正确;长度相等且方向相同的向量叫相等的向量,故 正确;规定零向量与任一向量平行,故 正确; 混淆了两个向量的模相等和两个实数相等的概念,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,并不意味着它们的方向相同或相反 .【答案】 【小结】对于涉及向量及相关概念的说法往往要抓住这些概念的实质,从概念去分
11、析判断,并注意它们的区别 .规定:零向量与零向量相等,零向量与任何向量共线 .探究二:【解析】(1)与 共线的向量有 、 、 、 、 、 、 . (2)与 相等的向量有 、 ; (3)与 | |相等的向量有 、 、 、 、 、 、 、 、 . (4)与 相等的向量是 . 【小结】非零向量共线或平行,有四种情形:(1)两个向量方向相同且模相等;(2)两个向量方向相反且模相等;(3)两个向量方向相同且模不相等;(4)两个向量方向相反且模不相等 .注意向量共线与相等的区别 .探究三:【解析】如图, A、 B、 C、 D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,依题意知,三角形 ABC 为正三角形,AC= 2
12、000 km.又 ACD=45,CD=1000 ,2 ACD 为直角三角形,即 AD=1000 km, CAD=45.2所以丁地在甲地的东南方向,距甲地 1000 km.2【小结】解决实际问题的关键是建立数学模型,将实际问题“数学化” .思维拓展应用应用一: 由于向量是既有大小又有方向的量,两个向量不能比较大小,故 不正确;由于共线向量方向相同或相反(模不一定相等),故 不正确;由于向量与起点位置无关,故 正确;忽略了 0 与 0 的区别,由 |a|=0,知 a 是零向量,即 a=0,但 a0,故 不正确;因为与任一非零向量,共线的单位向量有两个,一个与 a 方向相同,一个与 a 方向相反,所
13、以 不正确 .应用二: = ,| |=| |,且 AB CD. 四边形 ABCD 是平行四边形 .| |=| |,且 DA CB. 又 与 的方向相同, = .同理可证,四边形 CNAM 是平行四边形, = .8| |=| |,| |=| |, | |=| |,且 DN MB.又 与 的方向相同, = . 应用三:设 表示力 F1, 表示力 F2,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OACB,则 表示合 力 F,因为 F1与 F2垂直,所以平行四边形 OACB 是矩形,所以 | |=| |cos 60=5,| |=| |sin 60=5 , 3因此,力 F1和 F2的大小分别为 5 N 和 5 N.3基础智能检测1.C 由正三角形的性质可知 , , 的长度相等 .2.D 向量是既有大小又有方向的量,大小相等,但方向却不一定相同,故 A、B 不正确;向量不能比较大小,故 C 不正确;向量相等可以传递 .3. 认为 错误是考虑到零向量,对于零向量,虽然起点和终点重合,但当起点不同时,终点也是不同的;认为 错误是误以为与非零
