专题二 立体几何专题(教师)

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1、1专题二 立体几何学科网【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究 学科网 【考点透析】立体几

2、何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明， （理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等 学科网【例题解析】 学科网题型 1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 学科网例 1（2008 高考山东卷、2009 年福建省理科数学高考样卷第 3 题）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 学科网A 9B 10 C 1D 12学科网学科网分析：想像、还原这个空间几何体的构成，利用有关的计算公式解答 学科网解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是

3、1，母线长是 3，球的半径是 1，故其表面积是 222134，答案 D 学科网点评：由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意“高平齐、宽相等、长对正”的规则 学科网 例 2（江苏省苏州市 2009 届高三教学调研测试第 12 题）已知一个正三棱锥PABC的主视图如图所示，若 2ACB， 学科网6，则此正三棱锥的全面积为_ 学科网学科网分析：正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥，根据这个主试图知道，主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱，并且和底面三角形的一条边垂直，这样就知道了这个三棱锥的各个棱长 学科网解析：这个正三棱锥的底面边长是 3、高是 6，故底面正三角形的

4、中心到一个顶点的距离是 23，故这个正三棱锥的侧棱长是 236，由此知道2这个正三棱锥的侧面也是边长为 3的正三角形，故其全面积是 2349，答案 93 学科网点评：由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题，对给出的这“一个视图”要仔细辨别投影方向，这是三视图问题的核心 学科网题型 2 空间点、线、面位置关系的判断 学科网例 3（江苏苏州市 2009 届高三教学调研测试 7）已知 nm,是两条不同的直线， ,为两个不同的平面，有下列四个命题： 学科网若 nm,， n，则 ； 学科网若 /，则 /； 学科网若 ,，则 ； 学科网若 /nm，则 nm 学科网其中正确的命题是（填上所有正确命

5、题的序号）_ 学科网分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断 学科网解析：我们借助于长方体模型解决中过直线 ,n作平面 ，可以得到平面,所成的二面角为直二面角，如图（1） ，故 正确；的反例如图（2） ；的反例如图（3） ； 中由 ,mA可得 ，过 作平面 可得 n与交线g平行，由于 g，故 n答案 学科网学科网点评：新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型，本题就是通过这个模型中提供的空间线面位置关系解决的，在解答立体几何的选择题、填空题时合理地使用这个模型是很有帮助的 学科网例 4（浙江省 2009 年高考省教研室第一次抽样测试理科第 5 题）设 ,m

6、n是两条不同的直线， ,是两个不同的平面，下列命题正确的是 学科网A若 ,/mn，则 / B若 /,/,则 /学科网C若 ,，则 mn D若 n则 学科网分析：借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断 学科网3解析：对于 /，结合 ,/mn则可推得 mn答案 C 学科网点评：从上面几个例子可以看出，这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异，但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的，主要是考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度 学科网题型 3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算（文科解答题的主要题型） 学科网例题

7、 5（06 年福建卷 18 题） （本小题满分 12 分）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， 2,2.CABDABD（I）求证： 平面 BCD；（II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值；（III ）求点 E 到平面 ACD 的距离。解：（I）证明：连结 OC,.BOAOBDCD在 中，由已知可得1,3.C而 即2,A22OA90,oO.AOC平面BDCBD（II）解：取 AC 的中点 M，连结 OM、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知ME ,直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角在 中，O121,ABEDC是直角 斜边

8、 AC 上的中线，1,2OMAC2cos,4OM异面直线 AB 与 CD 所成角的 余弦值为 42（III ）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为 .h在 中，,1.3EACDCDEVhSOSA2,CDACADBOE4而2217().ACDS213, ,4CDEAOS点 E 到平面 ACD 的距离为3. 1.72CEADOhS.7例题 6（本小题共 13 分）如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。EF/AC，AB= ,CE=EF=12（）求证：AF/平面 BDE；（）求证：CF平面 BDE;证明：（）设 AC 于 BD 交于点 G。因为 EFAG,且 EF=1，AG

9、= AG=112所以四边形 AGEF 为平行四边形所以 AFEG因为 EG 平面 BDE,AF 平面 BDE,所以 AF平面 BDE（）连接 FG。因为 EFCG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边形 CEFG 为菱形。所以 CFEG.因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BDAC.又因为平面 ACEF平面 ABCD,且平面ACEF平面 ABCD=AC,所以 BD平面 ACEF.所以 CFBD.又 BDEG=G,所以 CF平面 BDE.例 7(2009 江苏泰州期末 16)如图所示，在棱长为 2的正方体 1ABCD中， E、F分别为 1D、 B的 学科网中点 学科网（1）求证： EF/

10、平面 1ACD； 学科网（2）求证： ； 学科网（3）求三棱锥 EFBV1的体积 学科网学科网分析：第一问就是找平行线，最明显的5就是 1EFBDA；第二问转化为线面垂直进行证明；第三问采用三棱锥的等积变换解决 学科网解析：（1）连结 1，如图，在 BD1中， 学科网、 分别为 ， 的中点，则 学科网11/DBACEFEF平 面平 面平面 1AC 学科网学科网学科网学科网（2） 学科网 11 1111 1, /BDBEFBCABCDAC平 面平 面 平 面学科网（3） F平面 1， 1FE平 面 且 2F， 学科网132E， 22()6BB， 学科网21 ()3BD学科网 1 即 190， 学

11、科网113BEFCBEFBEFVSC= 12FC=13622 学科网例 8 （江苏省苏州市 2009 届高三教学调研测试第 17 题）在四棱锥 PABD中，90AD， 60AD， A平面 ， E为 的中点，PB 学科网（1）求四棱锥 PC的体积 V； 学科网（2）若 F为 的中点，求证 平面 EF； 学科网（3）求证 E平面 B 学科网学科网分析：第一问只要求出底面积和高即可；第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明；第三问的线面平行即可以通过证明线线平行、利用线面平行的判定定理解决，也可以6通过证明面面平行解决，即通过证明直线 CE所在的一个平面和平面 PAB的平行解决 学科网解析：（1）在 A

12、BCRt中， 1,60BA， 3B， 2C 学科网在 Dt中， 2,D， 2,4D 学科网 12ABCS 5133 学科网则 153V 学科网（2） P， F为 PC的中点， AFPC 学科网 平面 D， ， D， A， CD平面AC， 学科网E为 中点， 为 中点， E ，则 ， FE，P平面 F 学科网（3） 学科网取 D中点 M，连 ,C则 MPA， 平面 PAB， 平面 AB， 学科网 平面 PAB 学科网在 CRt中， 60， 2， 60C而 60C， 学科网 平面 ， 平面 ， 学科网 平面 PAB 学科网EM，平面 EMC平面 PAB 学科网 平面 ， 平面 学科网学科网学科网学

13、科网学科网学科网学科网点评：新课标高考对文科的立体几何与大纲的高考有 学科网了诸多的变化一个方面增加了空间几何体的三视图、 学科网表面积和体积计算，拓展了命题空间；另一方面删除了 学科网三垂线定理、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念与性质、球的性质与球面距离，删除了空间向量，这就给立体几何的试题加了诸多的枷锁，由于这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积的计算、空间线面位置关系的证明（主要是平行与垂直） 7【专题训练与高考预测】说明：文科以选择题、填空题和解答题前三题为主理科以选择题、填空题和解答题后三题为主一、选择题1某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得

14、该几何体的体积是 （ ）A 32 B 23 C 23D 32解析：B 这个空间几何体的是一个底面边长为 3的正方形、高为 3的四棱柱，上半部分是一个底面边长为 3的正方形、高为 2的四棱锥，故其体积为132已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2的正三角形，俯视图是直径为 2的圆，则此几何体的外接球的表面积为 （ ）A 34B 38 C 16 D 2解析：C 由三视图知该几何体是底面半径为 1，高为 3的圆锥，其外接球的直径为 433正方体 ABDC中， AB的中点为 M， D的中点为 N，异面直线 BM 与N所成的角是 （ ）A 0 B 90 C 45 D 60解析：B 如图，取 的中点 P，连结 ，在正方形 AB中易证 P84已知三条不重合的直线 m、 n、 l两个不重合的平面 、 ，有下列命题若 /,n，则 /；若 l， 且 lA，则 ； 若 ,m， ,n，则 A； 若 ， ， ， m，则 n中正确的命题个数是 （ ）A 1B 2C 3D 4解析：B 中有 m的可能； lA且 l，可得 ，又 m，故 A，正确； 中当 nA时，结论不成立； 就是面面垂直的性质定理，正确故两个正