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1、第一讲 平面向量的概念及其线性运算考纲解析主要考点有：向量的加法、减法的运算及其几何意义；向量数乘的运算、几何意义及性质；两个向量共线的含义向量基本概念及线性运算在高考试题中经常以选择、填空题的形式出现，考查内容主要以向量运算的几何意义、向量的共线条件为主新课标卷对考生的要求更高，且具有一定的创新理念熟练掌握向量的加减法运算以及向量与实数的积是解决向量问题的关键，也是高考考查的重点，尤其是向量加减的几何意义及向量共线的条件，是历年高考考查的热点考点梳理1平面向量的有关概念：(1)向量:既有 又有 的量，向量可以用有向线段来表示向量的大小叫做向量的 (或 ) (2)零向量:长度为 的向量，记为，
2、其方向是 (3)单位向量:长度等于 的向量(4)平行向量:方向 或 的非零向量，也叫做 (5)相等向量:长度 且方向 的向量(6)的相反向量:与长度 ,方向 的向量2. 向量的线性运算（1）向量的加法：几何意义： 法则或 法则运算性质： = （交换律）， = ( 结合律)（2）向量的减法是加法的逆运算，记作：,几何意义： 法则表示为从向量的终点指向向量的终点的向量（3）向量的分解：已知向量，O为平面内任意一点，则；3实数与向量的积：（1）定义：实数与向量的积是一个向量，记作，规定：|=|.当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反；当=0时，与平行.（2）运算律：)= ，= ，()
3、= 当=0时，m=n=，而m,n不一定相等.（3）向量共线条件：，共线（a0）存在唯一的实数，使 .（4）中点公式：若P为线段AB中点，O为任意一点，则有.课前热身1下列命题正确的是 （ ）A.与共线，与共线，则与也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行2(2009湖南)如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则 ( )A.0B.0C.0D.03已知O、A、B是平面上的三个点,直线AB上有一点C，满足20，则( )A2 B2 C. D4已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若320，则
4、等于_5设a，b是两个不共线的向量，若2akb，ab，2ab，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于_重点难点方法1. 平面向量的概念的应用例1下列命题中：有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量与向量平行，则与的方向相同或相反；向量 与向量 共线，则、四点共线；如果，那么.正确的个数为 ()A.1B.2 C.3 D.0思路点拨：正确理解向量的有关概念是解决本题的关键.注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.听课笔记： 归纳点评：向量及有关概念是是很重要的基础，要正确理解有关概念，在解答概念问题时，若思考不严密，只注意到了向量、均不为零向量的情形，极易出现错误.变式训练：1.判断下列
5、命题是否正确，不正确的说明理由. (1)若向量与同向，且|，则； (2)若向量|，则与的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|，且与的方向相同，则； (4)由于零向量方向不确定，故不能与任意向量平行； (5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.2.向量的线性运算 向量的加法、减法、实数与向量与乘积等线性运算，在向量问题中起着十分重要的作用，对于三角形法则和平行四边形法则不但要会，而且要非常熟练，特别要注意数乘向量的定义 例2如图，在ABC中，D、E为边AB的两个三等分点，=3a，=2b，求，ABCDE思路点拨: 根据三角形法则，可选择向量所在，由，只需找出与的关系即可听
6、课笔记:归纳点评: 这类问题主要是利用向量的加、减法的定义以及向量加法的三角形法则和平行四边形法则来解两个向量的和、差向量变式训练2: 在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是 ( )A B C D变式训练3:已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+=43平面向量的共线问题例3设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值思路点拨：证明存在实数，使得听课笔记:归纳点评: 利用共线向量定理=，关键是用一个向量将另一个向量表示出来变式训练4:已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使=m+n，且m+n=
7、1变式训练:5已知、是两个不共线的向量，若它们起点相同，、t（+）三向量的终点在一直线上，则实数t=_五.及时突破1. 判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）共线向量一定在同一条直线上。（）（2）所有的单位向量都相等。（）（3）向量共线，共线，则共线。（）（4）向量共线，则（）（5）向量，则。（）（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。（）2. 在四边形ABCD中，“”是“四边形ABCD为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3已知向量，若向量共线，则下列关系一定成立的是（ ）A、 B、 C、 D、或4D、E、F分别是ABC的BC、CA、AB
8、上的中点，且， ，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、45已知：，则下列关系一定成立的是（ ）A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线C、C，A，D三点共线 D、B，C，D三点共线 6. 中，分别是的中点，为与的交点，若，试以，表示、 课时训练”1.设都是单位向量，则下列结论中正确的是 A B C D 2.已知正方形的边长为，则 A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则 .(用表示)4.已知，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则用表示的表达式为 （ ）A. B . C. D. 5.（2010湖南）若非零向量，满足|，则与的
9、夹角为 （ ）A. 300 B. 600 C. 1200 D. 15006.（2010全国卷2）中，点在上，平分若，则 （ ）（A） （B） （C） （D）7. 已知向量不共线，为实数，则当时，有 ， . 8. 若菱形的边长为，则 . 9.已知,则的取值范围是 . 10.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.11已知，且，试求t关于k的函数。12.已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？ 参考答案:知识梳理：1.大小.方向.长度.模； 2.0 ；3.1个单位； 4.相同.相反 ； 5.方向相同或相反； 6.相等 相同；7.相等.相反（1）三角形，平行四边形；,（2）三角
10、形（3）（）=（）， （+）=+， （+）=+.课前热身：1. 不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.、正确.不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.2. 选A. ()0.3. 选A. 22()，2.故选A.4.由已知得：()2()202，根据数乘的意义可得：2.5. 填.由于A，B，D三点共线，故，又2k，2，故由2k(2)可解得k4.重点难点方法例1.不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；不正确，若与中有一个为零
11、向量时，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；不正确，如0时，则与不一定共线.变式训练：1.错、错、对、错、对例2. =+ = 3a+2b，因D、E为的两个三等分点，故=ab =， =3aab =2ab，=2abab=ab变式训练2:由,得,即,所以点是边上的第二个三等分点.故例3 , 使得 变式训练3:证明 充分性，由=mn， mn=1， 得 =mn（） =（mn）n=n， =nA、B、C三点共线必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数，使得=， 即 +=（+）=（1）=（1），m=1，n=，mn=1， =mn变式训练3:E是对角线AC和BD的交点 =- ,=- 在OAE中，+=同理 += ， += ，+=以上各式相加，得 +=4变式训练:4如图, 、t（+）三向量的终点在一直线上,
