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1、第三章 线性方程组考试内容：克莱姆法则；方程组有非0解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件；线性方程组的性质和解的结构；齐次线性方程组的性质和解的结构；齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的通解。考试要求：1会用克莱姆法则；2 理解齐次线性方程组有非0解的充要条件以及非齐次线性方程组有解的充要条件；3 理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念；掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法；4 理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念；5会用初等行变换的方法求解方程组。内容概要1 方程组的形式：（1） 一般形式（2） 向量形式：（3） 矩阵形式：2 克莱姆法则：当具体计算时，再应
2、用行列式按行按列展开便是克莱姆法则，即。其中注意克莱姆法则使用的条件。 3 齐次线性方程组解的常用结论1 / 13（1） 方程组一定有解（就是它的一个解，称为0解）有唯一的解线性无关；有无穷多组解线性相关；（2）方程组解的性质如果也是此方程组的解；其中是任意的数；4 非齐次线性方程组解的常用的结论：（1） 方程组不能被的列向量组线性表示；注意线性表示与线性无关的含义不完全一样；后者能够推出前，但是前推不出后。（2） 方程组有唯一的解唯一的表示；有无穷多组解表示，但是其表示法不是唯一的（因线性相关）。5非齐次线性方程组（1）但注意，反之并不能成立，即（因为线性表示）。如果是方阵时，则结论一定成立
3、；如果事实上，用向量的语言就是：若线性表示，则表示式是唯一的。（2） 线性相关；反之不成立，即（3） 如果；（4） 如果；（5） 如果是的解的充要条件是：；这里（向量）；6关于齐次线性方程组的基础解系（1） 基础解系的定义（略）；（2） 基础解系的确定方法（当方程组由此确定的与原方程组同解的方程组，确定此其自由变量，由此给出其基础解系，下面用例说明：假若对应的同解方程组为方法1将上述的解表达成标准形式：这里的便是原方程组的一个基础解系；方法2 由同解方程组可得自由变量为向量（其个数为3=自由变量的个数），则得到原方程组的一组解：便是原方程组的一个基础解系。如自由变量取（3） 若方程组是n-r；
4、（4） 同一个齐次线性方程组的两个不同的基础解系是等价的；7 关于一般非齐次线性方程组的解（1） 如果(令自由变量取一组确定的值得到的原方程组的一个解称为其特解，通常自由变量取0）（2） 是线性无关的；这是因为：又根据条件可得：但是但是是线性无关的故结论成立。基本题型题型1 具体的数字线性方程组的求解将(行简化的阶梯形矩阵）当其解；当时，方程组无解。要求：过程一定要清楚，具体求解计算要准确。题型2 系数为参数的线性方程组解的情况判定例1 已知方程组无解，则；解：方法1 注意此方程组的系数矩阵是一个三阶方阵，若方程组无解，则必有，易计算当故此方程组有无穷多组解；当此时方程组无解；方法2 显然当。
5、例2 设通解。解 由条件解空间的维数是2进而可求出的通解；由于 因而可得此方程组的通解为：题型3 关于线性方程组的通解的问题（1） 具体的数字方程组的求通解应当熟练；（2） 含有参数的线性方程组求通解应转化为上面的数字方程组；如上面的题型2；（3） 根据方程组的通解性质求此通解；例1 已知四阶矩阵，其中，求的通解。解 由条件知显然的一个特解，故只要求出此导出组的一个基础解系，而是四个未知数的方程组，因此基础解系仅含有一个非0的解向量；又的一个非0解，故原方程组的通解为（其中k是任意的数）。例2 设A是秩为3的矩阵，是非齐次线性方程组的三个不同的解，若求方程组的通解。解 因为而A是矩阵，故方程组
6、的基础解系仅含有一个非0向量，由所给的条件可得：基础解系，另一方面是方程组的一个特解，故原方程组的通解为。例3 已知非齐次线性方程组有三个线性无关的解，（1）证明：；（2）求及方程组的通解。解：（1）设是上述方程组的三个线性无关的解向量，从而也线性无关，且是导出组的两个线性无关的解，因此导出组的基础解系所含有的向量的个数，即；有（2） 又因为对应的方程组的通解为：例4 已知设存在两个不同的解，；（1）求解 （1） 由条件知：若，此时方程组无解；由于方程组有解，所以必有，此时由于方程组有解，故此时（2）当时，此时故方程组的通解为题型4 关于线性方程组的公共解、同解问题例1 已知齐次线性方程组和方
7、程组同解，求；解： 因的系数矩阵从而有无穷多组解，由于与同解，故；又，而由此求得的基础解系为，而的解，故即（1） 当时，方程为，显然与不同解；（2） 为此时与同解。例2 设线性方程组为有公共解，求的值以及所有的公共解。解 设是其公共解，因而是方程组,易计算当为任意的数；当当题型5 有关基础解系的问题例1 设有向量组：；而：，；已知是方程组的基础解系，问当取何值时，也是方程组基础解系。题型6 关于方程组的证明问题例1 已知证明：设方程组：；:下证方程组与同解；这是因为若，这说明方程组的解；又若记有条件知都是实数，这说明：若因此方程组从而可得上述的结论也是常用的一个结论。例2 设非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为是它的n-r+1个线性无关的解，证明它的任意一个解X可表示为证明：先证明是线性无关的；这是因为若因为，故线性无关；另一方面，由条件知均是个线性无关的解；因此，是方程组的一个基础解系，因此方程组的任意一个解显然：例3 一定有解。证明：因又从而,因此方程组一定有解。 （注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）
