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1、第四章 复变函数级数（42）一、内容摘要1复数列的极限:设有复数列,若存在复数,对于任意的,总有数0,使数列序数时总有,则称复数为数列的极限,或者说数列收敛于,记作： 由于, , 当式成立时,等价于 收敛的充要条件是和都收敛。2复数级数（定义）：设有复数项级数 若其前项和构成的数列收敛,则称级数收敛,而数列的极限叫做级数的和.否则称级数发散。由于，所以 ；绝对收敛：若一个级数的模级数1 / 21收敛,则称级数是绝对收敛；若收敛级数的模级数不收敛，则称条件收敛。3设复变函数()区域G内都有定义, 则定义复变函数项级数：，其中前项和：。 若对于G内某点,极限存在,则称复变函数项级数在点收敛,叫做级
2、数的和.若级数在区域G内处处收敛,其和必是一个复函数:.则)称为级数的和函数。定义: 如果对于任意给定的，存在一个与无关的自然数，使得对于区域内(或曲线L上)的一切均有:当时，(p为任意正整数)则称级数在内(或曲线L上)一致收敛。一致收敛级数的主要性质：1）连续性: 若在区域B内连续，且在B内一致收敛于，则和函数在B内连续。2）逐项可积性: 设级数在曲线l上一致收敛于，且各项均在l上连续，则沿l可逐项积分，且：。3）逐项可导Weierstrass定理: 设各项在区域B内均解析，且在B内的任一闭子域上一致收敛于，则(i) 和函数在B内解析。(ii) 在B内级数可逐项求导至任意阶，且.4）M判别法
3、 (Weierstrass 判别法):若在区域B内 ，而收敛，则由构成的级数在B内绝对且一致收敛。4Abel第一定理：若级数在处收敛,则在以原点为中心以为半径的圆内绝对收敛,即在所有满足条件的处绝对收敛; 若级数在处发散,则在上述圆外发散,即在所有满足条件的处发散；在处不定。Abel第一定理中所说的圆叫做幂级数的收敛圆,收敛圆半径叫做收敛半径。关于收敛半径有下面的定理。定理(比值法): 若，则收敛半径.定理(根值法): 若，则收敛圆半径.5Taylor定理：若复变函数在以为中心的某个圆内解析， 对圆内任一点，可以展开为级数： (1) (2)(1)式称为解析函数在的Taylor展开式,而(1)式
4、右边的级数称为在的Taylor级数.若为距离最近的的奇点,Taylor级数的收敛半径为。几种常用初等函数的Taylor展开式:以上级数收敛半径：无穷大以上级数收敛半径：16函数在其解析点附近可展开成Taylor级数；在奇点附近可展开Laurent级数.如果函数)在以为圆心的圆环域上解析，即在圆环内为解析函数。那么它能展开为Laurent级数。Laurent定理：若在以点为中心的环形域内单值解析，对环形域内任一点，可以展开为级数： , (1) 其中 ， (2)s是环形域内逆时针绕点一周的围道。注：（1）式叫做Laurent展开式, 式子右边的级数叫做Laurent级数. Laurent级数与Ta
5、ylor级数不同的是它含有的负次幂。7单值函数的孤立奇点:定义: 若函数在点处不解析，则称是的奇点：孤立奇点: 设是函数的奇点，但在的某个去心领域内解析，则称点为函数的孤立奇点。非孤立奇点: 如果在的无论多么小邻域内,除外都有不可导点。或者是函数的奇点，但不是孤立奇点，则就叫做的非孤立奇点。本性奇点：的孤立奇点a本性奇点的充分必要条件是不存在，即时，既不趋于，也不趋于一定的值。8零点若在解析区域内一点的值为零，则称为解析函数的零点。如但，则称为的阶零点。二、习题1填空题（1）的敛散性为_；的敛散性为_（2）解析函数在附近的Taylor级数=_（3）复变函数在孤立奇点的去心领域Laurent展式
6、为：=_（4）幂级数的收敛半径是_;级数的收敛半径是_（5）0是函数的_;1是函数 _,（选填：本性极点、可去奇点）。2已知级数和的收敛半径分别为和，试确定下列级数的收敛半径：(1) (2) (3) (4) 3求下列幂级数的收敛半径。(1) (2) 4把下列各函数展开成的幂级数，并指出它们的收敛半径。 (1) (2) 5试证级数在全复平面上一致收敛。6求级数的收敛半径，并讨论它们在收敛圆周上的敛散性。7求下列函数在处的泰勒展开式和收敛半径。（1） （2）（3）, 8求下列函数的泰勒级数。（1）求在内点处的泰勒级数。（2）求在内点处的泰勒级数。（3）求函数在内点处的泰勒级数。9把下列各函数在指定
7、得圆环域内展开成洛朗级数。（1），（2）（3）（4）,（5），10如果为正向圆周，求积分的值，设为：(1) (2) 11求和函数：(1) 求和函数(2) 求和函数12求出下列函数的奇点（包括无穷远点），确定他们是哪一类的奇点（对于极点，要指出他们的阶）。（1） （2 ） （3） （4） （5） （6） 13试求级数及其逐项求导级数、逐项求积级数的收敛半径，讨论它们在和时级数的收敛性。14试证其中15分别以为阶及阶极点，试问为的怎么样的点？16请指出下列级数在零点的阶：（1） （2）17判断级数的收敛性与绝对收敛性。三、参考答案1填空题(1) 发散，绝对收敛。(2) (3) (4) e，1(5)
8、 本性极点，本性极点。(6) 12解：(1) (2) (3) (4) 3解：(1) 因为， 所以(2) 因为，所以4解：(1) (2) 把后式代入前式可得：5解：注意到 是正实数，则有而 ，其前项和为，表明收敛，所以原级数在全复平面上一致收敛。6解：由于对于这三个级数，均有，所以他们的收敛半径均为1。但在收敛圆周上他们的敛散性却各一样： ，在上，由于一般项不趋于0，故处处发散. ，在点，是调和级数，所以发散；在点，是交错级数，所以收敛； ，在，上一p级数，所以处处绝对收敛，因而也处处收敛。 7解：(1) .而， ， 所以 (2) (3) 因为，而因此在区域上，可对上式逐项积分得 (c为积分常数
9、)，若令则(即主支)；若令，则(其他分支),最后得出，主支的泰勒级数为：其他分支的泰勒级数为：8解：(1) 设为一实数，按定义有，对于各支，函数在内单值解析，又，所以按泰勒级数公式，当时有，其中。而对应的一支为主支.(2) (3) 首先要明确函数，这样形式的泰勒级数是存在的，问题是如何求出各项系数，将对求导并整理得: ,将的待定系数的泰勒级数，代入上式得:，令： ，代入，得于是.9解：(1) 在内 因为所以在内(2) 又 一并代入得 (3) 利用的展开式和绝对收敛的级数可逐项相乘的性质可得： 令，把 求和换为对求和，于是：(4) 在圆环内，因为，所以.(5) 10解：(1) 函数在内处处解析，
10、它的洛朗展开式为所以，而在内，所以(2) 函数在内处处解析，它的洛朗展开式为（此时，）所以，而在内，所以 11解：(1) 在一致收敛区域内，对上式逐项积分， 然后，微分即得 (2) 对上式两边乘，得 对上式微分两次得 然后，积分两次得 其中积分常数可从来定， 12解：(1) 所以，和均为的极点。因为 在中解析，所以为的二阶极点。又 ，而 在中解析，故为的三阶极点。(2) ,所以为的奇点.又有无限多项正幂，故为的本性奇点。(3) 类似前面的讨论知, 的奇点为 ： 和，因为 为有限值,所以以为一级零点,故为(4) 是个多值函数, 。分母有一阶零点它们就是函数的一阶极点。(5) 函数有可去奇点和非孤
11、立奇点(6) 原函数是多值函数, ,若割线不通过点,则分母的零点应是函数的孤立奇点,因: 所以对于的单值分枝, ,因此是函数的二阶极点.对于13解: 级数= ,其收敛半径对其逐项求导的级数 其收敛半径对其逐项求积分级数 ,现在谈论时三个级数的收敛性.对于幂级数,在收敛圆内绝对收敛,在圆外则发散;而在收敛圆周上则可能收敛也可能发散,需要具体谈论,在处, 发散。 发散。 收敛。在处, 发散。 发散。 收敛。14证明: 因在平面上只有一个奇点,而的收敛半径为故.故可将它在中展开为洛朗级数其中这里, 表任意圆周取,则在上: 故有 令,则右边第二个积分之值为零,故有所以故,证毕。15解: 令,其中, 均在点解析,且,则,且.由此可见（1） 若。（2） 。（3） 。 16解
