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1、1 / 15第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。 如果数列xn无界，那么数列xn一定发散；但如果数列xn有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系
2、)如果数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于-1，xn却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中00(或A0(或f(x)0)，反之也成立。 函数f(x)当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(xx0)f(x)
3、=，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么ab. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x0)(sinx/x)=1；lim(x)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列xn、yn、zn满足下列条件：ynxnzn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义
4、，如果函数f(x)当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(xx0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(xx0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(xx0)f(x)存在，但lim(xx0)f(x)f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理
5、有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy=y|y=f(x)，xIx上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。 定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即mf(x)M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间a，b上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)0
6、)，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(a函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。 3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。 4、函数f(x)在点x0处可微=函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。 第三章中值定理与导数的应用 1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点(ab），使的函数f（x）在该点的导数
7、等于零：f（）=0. 2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点(a0，那么函数f(x)在a，b上单调增加；(2)如果在(a，b)内f(x)0，那么函数f(x)在a，b上单调减少。 如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。 6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0
8、的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。 在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。 定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f(x)恒为负，那么函
9、数f(x)在x0处取得极大值；(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f(x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f(x)恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。 定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f(x0)=0，f(x0)0那么：(1)当f(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。 7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f(x1+x2)/2f(x1)+f(x1)/2，那
10、么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。 定理设函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f(x)0，则f(x)在闭区间a，b上的图形是凹的；(2)若在(a，b)内f(x)可积。 定理设f(x)在区间a，b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间a，b上可积。 3、定积分的若干重要性质性质如果在区间a，b上f(x)0则abf(x)dx0.推论如果在区间a，b上f(x)g(x)则abf(x)dxabg(x)dx.推论|abf(x)dx|ab|f(x)|dx.性质设M及m分别是函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值，则m(b-a)abf
11、(x)dxM(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。 性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间a，b上连续，则在积分区间a，b上至少存在一个点，使下式成立：abf(x)dx=f()(b-a)。 4、关于广义积分设函数f(x)在区间a，b上除点c(acb）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分acf（x）dx与cbf（x）dx都收敛，则定义abf（x）dx=acf（x）dx+cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分abf（x）dx发散。 第六章定积分的应用 求平面图形的面积(曲线围成的面积) 直角坐标系下(含参数与不含参数)
