机械工程控制基础第五章上

《机械工程控制基础第五章上》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机械工程控制基础第五章上（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1,第五章 系统的稳定性,设计控制系统时应满足多种性能指标，但最重要的技术 要求是系统必须稳定。因为稳定性是系统能正常工作的首 要条件，只有工作稳定才能进一步讨论其他性能指标。,分析系统的稳定性是控制理论的最重要组成部分之一。,控制理论对于判断一个线性定常系统是否稳定提供了多 种方法。,本章着重介绍几种常用的稳定判据，以及提高系统稳定 性的方法。,2,一、介绍系统稳定性的基本概念，判断系统稳定性的 基本出发点 二、系统稳定的充分必要条件,本章内容,三、代数判据（Routh、Hurwitz判据） 四、Nyquist判据的基本原理和方法，Bode判据 五、相对稳定性的概念 六、掌握相位裕量和幅值裕

2、量的概念及计算方法,明 确,重点 掌握,3,若一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰 动取消后，经过充分长的时间，这个系统又能够以一定的精 度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则不稳定。,5-1. 系统稳定性的初步概念,4,小球处在a点时，是稳定平衡点，因为作用于小球上的 有限干扰力消失后，小球总能回到a点，而小球处于b、c点 时，为不平衡点，因为只要有干扰力作用于小球时，小球 便不再回到b或c。,5,控制系统在实际运行过程中，总会受到外部和内部 的扰动，如火炮射击时，施加给随动系统的冲击负载； 雷达天线跟踪时，突然遇到阵风。如果系统不稳定，就 会在任何微小的扰动作用下偏离原来

3、的平衡状态，并随 时间的推移而发散。 因此，如何分析系统的稳定性，并提出保证系统稳 定的措施，是自动控制的基本任务。,6,定义:上述2个实例说明系统的稳定反映在干扰消失后的过渡 过程的性质上，因此，控制系统的稳定性可以这样定义。 若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下，其过渡过 程随时间的推移，逐渐衰减至零，具有恢复原平衡状态的性能， 则称该系统稳定。,系统自由振荡输出三种情况,一、定义,7,即：若线性系统受到扰动的作用而使输出量xo(t)发生偏差， 产生 xo(t)。扰动消失后，经过足够长的时间，该偏差的绝 对值小于给定的正值。,则系统渐近稳定，否则不稳定。如果系统在任意初始条件下 都保持

4、渐近稳定，则称为大范围内渐近稳定。,渐近稳定：,（一般所讲的线性系统的稳定性，就是渐近稳定性）,8,注意事项： 1.线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件， 而与输入无关。 线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构参数，而与 输入无关（非线性系统的稳定性与输入有关） 2.系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。,9,3.控制系统理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的 稳定性，即：讨论输入为0，系统仅存在有初始状态不为0时 的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的。 至于机械工程系统，往往用激励或加外力的方法施以强迫振 动或运动，因而造成系统共振（或谐振）或偏离平衡位置越 来越远，

5、这不是控制理论所要求讨论的稳定性。,10,一般反馈系统的传函为：,二、稳定条件,设分母=0，可得出系统的特征方程：,11,(一) 稳定条件： 系统的稳定性决定于特征方程。只要指出特征方程的根 落在s复平面的左半部分，系统即是稳定的。 (二) 线性稳定的条件： 设线性系统在初始条件为0时，输入一个理想单位脉冲 函数 ，这时系统的输出是单位脉冲响应，这相当于系统 在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡点的情形。 若线性系统的单位脉冲响应函数 随时间的推移趋 于0，即： ，则系统稳定；若 ，则系 统不稳定。,12,若 或等幅振荡 临界稳定状态。 但由于参数变化等原因，等幅振荡不能维持 不稳定。,工程意

6、义上的不稳定,L,可知，要满足 ，只有当特征根全部为负实部,13,系统稳定的充要条件：稳定系统的特征方程根必须全部具 有负实部，反之，若特征根中有一个以上具有正实部时，则系 统必不稳定。,或系统传函 的极点全部位于s复平面的左半部。,若有部分闭环极点位于虚轴上，而其余极点全在s平面左半 部时，便会出现前边所述的临界稳定性状态，系统处于等幅振 荡状态，从设计角度不可取（很容易转化为不稳定系统）。,可知：稳定系统在幅值有界输入信号作用下，其输出必定 为幅值有界，而对于不稳定系统来说，不能断言其输出幅值为 有界。,14,1.直接计算或间接得知系统特征方程式的根（直接求解） 直观，对高阶系统是困难的

7、2.确定根具有负实部的系统参数的区域（劳斯判据） 为此，不必解出根来，而能决定系统稳定性的准则就具有 工程实际意义。,三、判别稳定性的方法,15,线性定常系统稳定 全部特征根均具有负实部。 只有求出全部极点 判稳 但阶次往往较高（实际工程中），不使用计算机直接求根较 困难（n4），这样就提出了各种不解特征方程的根，只讨 论特征根的分布，从而判断系统稳定性的方法。 1884，Routh提出的Routh判据；1895，Hurwitz提出Hurwitz 判据,5-2. Routh（劳斯）稳定判据 【Hurwitz（赫尔维兹）】,16,1、必要条件：设系统的特征方程为：,一、劳斯判据,17,18,由上

8、式可知，要使全部特征根 均具有负实部， 必须满足如下2个条件： (1) 特征方程的各项系数ai(i=0,n)不等于0. (2)特征方程的各项系数ai(i=0,n)符号都相同，一般ai0 2.充要条件：Routh阵列中第一列所有项均为正，且值不为0,19,Routh阵列表,20,系数Ai、Bi的计算，一进行直到其余Ai、Bi 等于0为止。,21,这种计算一直进行到最后一行被算完为止，S0行仅有一 项且F1=a0。为简化数值运算，可用一个正整数去乘或除某 一整行的所有元素。 Routh判据还说明：实部为正的特征根数等于Routh阵列 中第一列的系数符号改变的次数。,22,解：ai0 满足必要条件,

9、例1.设控制系统的特征方程式为：试判断系统的稳定性。,Routh阵列：,由第一列看出：全为正值，故稳定。,23,.符号改变一次,例2.,由第一列看出，改变符号2次，说明闭环系统又2个正实部 的根，故不稳定。,解：,.符号改变一次,24,对于特征方程阶次低(n 3)的系统，Routh判据可化为不等式 组的简单形式。,二阶系统：,所以，二阶系统稳定的充要条件： ai0,25,三阶系统：,所以，三阶系统稳定的充要条件： ai0 且,26,例3. 设某反馈控制系统如图所示，试计算使系统稳定的K值范围。 解：系统闭环传函：,特征方程为：,27,3.Routh判据的特殊情况 (1) 若在Routh阵列表中

10、任意一行的第1个元素为0，而后各元 素不为0，则在计算下一个元素时趋于无穷，将无法进行下去。 此时可用趋于0代替，再计算。,例4：,因为第1例各元素符号不完全一 致，系统不稳定，第一列各元素 改变次数为2，所以有2个具有正 实部的根。,28,例5：,第一列中除外均为正，所以 没有正实部的根， 行为零， 说明有虚根存在。,实际上：,，临界稳定。,29,若在Routh阵列表中，某行的各元素全部为0，可利用 改行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并利用这个 多项式方程的导数的系数组成表中的下一行，然后继续 往下做。,30,例6：,辅助多项式：,对A(s)进行求导：,31,从表中可知：第1例系数无变号

11、，说明系统无右根。 但因为S3辅行的各项系数全为0，说明虚轴上有共轭虚根。,辅助方程：,系统处于临界稳定。,32,1. 一单位负反馈系统 的开环传递函数为 ， 求该系统稳定的K值范围。,作 业,2. 已知系统的闭环传递函数为 试用Routh判据判断系统的稳定性。,33,设系统特征方程为：,二、Hurwitz判据,各系数排成如下的nxn阶行列式：,34,系统稳定的充要条件： 主行列式n条及其对角线上各子行列式1 2 （n-1） 均具有正值。,二、Hurwitz判据,即：,由于这个行列式直接由系数排 列而成，规律简单而明确，使 用也较方便。但对六阶以上的 系统，由于行列式计算麻烦， 较少用。,35

12、,例7：,所以该系统稳定。,36,Routh判据和Hurwitz判据都是用特征根与系数的关 系来判断稳定性的，他们之间有一致性。又称Routh Hurwitz判据（代表判据）。,但：其对于带延迟环节等系统形成的超越方程无能为力 局限性,而Nyquist判据能判别带延迟环节系统的稳定性 应用广泛,5.3 Nyqwist 稳定性判据,1932年H.Nyqwist提出稳定判据，1940年后得到广泛应用。 利用开环系统的Nyqwist图判断闭环系统的稳定性 几何判据 无需求闭环系统的特征根，而通过分析法或频率特性实验法得 开环频率特性 曲线 分析闭环系统的稳定性。,进而,38,这种方法在工程上获得了广

13、泛的应用，因为： （一）当系统某些环节的传递函数无法用分析法描述时， 可通过实验来获得这些环节的频率特性曲线；整个系统的 开环频率特性曲线也可利用实验获得，这样，就可分析系 统闭环后的稳定性。,（二）Nyqwist判据可解决代数判据不能解决的诸如包含延 时环节的系统稳定性问题。 （三）Nyqwist判据还能定量指出系统的稳定储备，即：系 统相对稳定性定量指标，以及进一步提高和改善系统动态性 能（包括稳定性）的途径。,40,闭环控制系统的一般形式：,其开环传函为：,的零点= 的极点 的极点= 的极点,由上式可知：,设： , 是 的复变函数.,Nyqwist判据需用到复变函数中的幅角原理，首先进行

14、介绍 （1）若复变函数 在 及 的邻域内处处可导，则称 在 处解析；若 在 处不解析，则称 为 的奇点； （2） 是S多项式的分式，若在复平面S上除了有限个奇 点外，为单值连续函数，那么在复平面S上的解析点映射到 复平面 上的点为此解析点的像；,一.幅角原理（cauchy定理）,（3）当一动点S在S上沿一封闭曲线 按顺时针转一周， 只需曲线 不经过 的奇点和零点，则在像平面 上的像绕原点按顺时针转N周。若Z和P分别为包含在 内的 的零点和极点的个数。 则：N=Z-P 幅角原理 简要说明：根据复数性质：两个复数积的幅角=它们幅角的和,假设封闭曲线 内只含一个零点 动点S按顺时针方 向沿封闭曲线

15、转一周，S点在其像平面 上的像轨迹 的情况可通过 幅角变化 来判断。,复数 和 在S平面上的向量分别由 和 指向S 若动点S按顺时针沿 转一周，只有向量 的幅角变化 是 ，即 其余均是0. 说明向量 端点的轨迹 按顺时针方向绕F平面原点 转一周。,45,同理：若在S平面上的封闭曲线 内含有 的一个极点， 当动点S按顺时针沿 转一周，则向量 端点的轨迹按逆 时针方向绕F平面原点转一周。 所以若在S平面上的封闭曲线 内含有 的P个极点和Z 个零点，当动点S按顺时针沿 转一周，向量 端点的轨 迹 按顺时针方向F平面原点转的周数为N=Z-P.,二.Nyqwist稳定判据,1.在 平面上的Nyqwist稳定判据 现在把动点S在S平面上的轨迹 扩大到整个S平面的 右半边：让动点S沿S虚轴由 ，再以 为半 径顺时针转半个圈回到 ，这样画出的 包含了整个 S的右半平面，称此封闭路径为Nyqwist路径。,若一个系统是稳定的，则 其 在整个S平面的 右半边极点，即F(S)在S 右边无零点Z=0.,此时，若F(S)在S的右边P个极点（即： 在S右边有P 个极点）则：若动点S沿路径一圈，则其像轨迹 必将在 平面内逆时针绕原点P圈。,Nyqwist稳定判据：若系