《新教材2020-2021学年高中人教A版数学第2册教学用书-8.6.3-第1课时-平面与平面垂直的判定含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材2020-2021学年高中人教A版数学第2册教学用书-8.6.3-第1课时-平面与平面垂直的判定含解析（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定素养目标定方向素养目标学法指导1通过直观感知，归纳出平面与平面的判定定理.(直观想象)2会用平面与平面的判定定理证明平面与平面垂直.(逻辑推理)1平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊关系的认识，既可以从二面角的平面角为直角的角度讨论，又可以从已有的线面垂直关系出发进行推理论证.2面面垂直源自线线垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时非常重要，一方面从条件入手，分析已有的垂直关系，另一方面从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而找到解决问题的途径.必备知识探新知知识点1二面角的概念定义从一条直线出发的_两个半平面_所组成
2、的图形相关概念这条直线叫做二面角的_棱_；这两个半平面叫做二面角的_面_画法记法二面角_l_或_AB_或_PlQ_或PABQ二面角的平面角在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作_垂直于_棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的_AOB_叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角的取值范围是_0180_知识点2面面垂直的定义定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角_，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作：_画法画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成_垂直_知识解读1二面角与平面几何中的角的对比
3、平面几何中的角二面角图形定义从平面内一点出发的两条射线组成的图形从一条直线出发的两个半平面组成的图形表示法由射线点 (顶点)射线构成，即为AOB由半平面线(棱)半平面构成，记为二面角l意义定量的反映两条直线的位置关系定量的反映两个平面的位置关系2剖析平面与平面垂直(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况.例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的.(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的.3详解平面与平面垂直的判定定理(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直.(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理
4、线线垂直问题来解决.关键能力攻重难题型探究题型一二面角及其平面角的概念的理解典例1下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是(B)ABCD解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故正确；中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故不对；由定义知正确.故选B归纳
5、提升1要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.2要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别.3可利用实物模型，作图帮助判断.【对点练习】若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(D)A相等B互补C相等或互补D关系无法确定解析如图所示，平面EFDG平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定.题型二求二面角的大小典例2四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB.(1)求二面角APDC的平面角的度数；(2)求二面角BPAD的平面角
6、的度数；(3)求二面角BPAC的平面角的度数；(4)求二面角BPCD的平面角的度数.分析求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解.解析(1)因为PA平面ABCD，所以PACD.因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD.又PAADA，所以CD平面PAD.又CD平面PCD，所以平面PAD平面PCD.所以二面角APDC的平面角的度数为90.(2)因为PA平面ABCD，所以ABPA，ADPA.所以BAD为二面角BPAD的平面角.又由题意知BAD90，所以二面角BPAD的平面角的度数为90.(3)因为PA平面ABCD，所以ABPA，ACPA.所以BAC为二面角BPAC的平面角.又四
7、边形ABCD为正方形，所以BAC45.所以二面角BPAC的平面角的度数为45.(4)作BEPC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图.由题意知PBCPDC，则BPEDPE，从而PBEPDE.所以DEPBEP90，且BEDE.所以BED为二面角BPCD的平面角.又PA平面ABCD，所以PABC.又ABBC，PAABA，所以BC平面PAB.所以BCPB.设ABa，则PAABBCa，所以PBa，PCa，所以BEa，BDa.所以sinBEO.因为BEO(0，90)，所以BEO60.所以BED120.所以二面角BPCD的平面角的度数为120.归纳提升1求二面角大小的步骤：简称为“一作
8、二证三求”.作平面角时，一定要注意顶点的选择.2作二面角的平面角的方法：方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图所示，AOB为二面角a的平面角.方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.如图所示，AFE为二面角ABCD的平面角.方法三：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图所示，AOB为二面角l的平面角.【对点练习】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值.解析取A
9、1C1的中点O，连接B1O、BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角.因为BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1设正方体的棱长为a，则OB1a，在RtBB1O中，tanBOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值为.题型三平面与平面垂直的证明典例3如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，(1)求证：平面PAD平面ABCD.(2)求证：平面PAC平面PBD.分析(1)根据已知的线段长度，证明PDDC，PDAD，即可得到PD平面ABCD，然
10、后利用面面垂直的判定定理证得结论.(2)根据(1)问得到PD平面ABCD，从而有PDAC，然后结合底面ABCD为正方形得到ACBD，从而找出平面PDB的垂线AC，最后利用判定定理证得结论.证明(1)因为PDa，DCa，PCa，所以PC2PD2DC2，所以PDDC.同理可证PDAD，又ADDCD，所以PD平面ABC.因为PD平面PAD，所以平面PAD平面ABCD.(2)由(1)知PD平面ABCD，所以PDAC，而四边形ABCD是正方形，所以ACBD，又BDPDD，所以AC平面PDB.同时，AC平面PAC，所以平面PAC平面PBD.归纳提升证明平面与平面垂直的方法：(1)定义法：根据面面垂直的定义
11、判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角.(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”.【对点练习】(1)如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PAAC，求二面角PBCA的大小.(2)如图，在四面体ABCD中，BDa，ABADCBCDACa.求证：平面ABD平面BCD.解析(1)由已知PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.AB是O的直径，且点C在圆周上，ACBC.又PAACA
12、，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.又PC平面PACPCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角.由PAAC知PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.(2)证明：取BD的中点E，连接AE，CE.因为ABD与BCD是全等的等腰三角形，所以AEBD，CEBD，即AEC为二面角ABDC的平面角，在ABD中，ABa，BEBDa，所以AEa，同理，CEa.在AEC中，AECEa，ACa，故AC2AE2CE2，所以AECE，即AEC90，所以二面角ABDC的平面角为90，所以平面ABD平面BCD.易错警示判断面面位置关系时主观臆断典例4如图所示，已知在
13、长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗？试说明理由.错解由题意可知，D1B1与AB1不垂直，D1B1与B1C不垂直，所以D1B1与平面ACB1不垂直，故平面BB1D1D与平面ACB1不垂直.错因分析判断两个平面垂直，只需说明其中一个平面经过另一个平面的垂线即可，判断线面、面面位置关系时，必须给出严格的推理过程，不能只凭图形直观妄加判断，要全面理解垂直关系的实质.正解因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD，因为BB1底面ABCD，AC底面ABCD，所以ACBB1，又BDBB1B，所以AC平面BB1D1D，又AC截面ACB1，所以截面ACB1平面BB1D1D.【对点练习】如图所示，已知AB平面BCD，BCCD，则图中互相垂直的平面共有_对(C)A1B2C3D4解析AB平面BCD，且AB平面ABC和AB平面ABD，平面ABC平面BCD，平面ABD平面BCD.AB平面BCD，ABCD.又BCCD，ABBCB，CD平面ABC.CD平面ACD，平面ABC平面ACD.故图中互相垂直的平面有平面ABC
