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1、圆经典考点专题编者引言 “圆”是中考十分重要的考点，由于牵涉条件较多，情况较复杂，所以必须要掌握一定的方法，才能做到快速且准确的求解 在这一专题中，主要从以下两个方面来介绍解答有关“圆”的题目的方法和技巧 (1)补充圆的一些性质，如四点共圆、垂径定理、弦切角定理、切割线定理等，希望能让读者通过了解这些性质，增加对有关圆的问题的敏感度，利于进一步解题 (2)综合题，其涉及的热门考点主要有：垂径定理，计算面积，求函数关系，圆与直线、圆与圆的位置关系等经典拉分题思维点评题1如图41所示，M、N分别是优弧BAC、劣弧的中点，MEAB于E，NFAB于F，MN交BC于D，求证：满分解答由M、N分别是优弧、
2、劣弧的中点，知MNBC于D，结合NFAB于F，则B、F、D、N四点共圆，得AFDBNM 同理，由MEAB于E，MNBC于D，知B、D、E、M四点共圆，得BMDFED，所以DEFBMN，则技巧贴士要证线段的比例相等，首先想到证线段所在的三角形相似，显然要证明DEFBMN，而其证明的条件（两对角相等）分别由两次“四点共圆”得到 “四点共圆”是指同一平面内的四个点在同一个圆上本题所使用的判定“四点共圆”的方法为题12后的“思维点评”中方法2，而其性质为“共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等” B、F、D、N四点共圆是因弧所对应的BFNBDN90，而B、D、E、M四点共圆是因弧所对应的BD
3、MBEM90注意这两对角韵写法AFDBNM和BMDFED也是因为“四点共圆”的性质，即共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等题2如图42(a)所示，以ABC的边AB、AC为边，分别向外作正三角形ABD、正三角形ACE，其中DC、BE交于F，求DFE的度数满分解答易知DACBAE，可得ACDAEB，由此可知点A、E、C、F共圆，连接AF，见图42(b)，所以AFEACE60同理可得AFDABD60，所以DFEAFDAFE120技巧贴士本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质以及四点共圆的性质的运用本题实质上将DFE分为了两部分，分别求出特殊角A、E、C、F共圆是因为ACDA
4、EB，使用的判定是题12后的“思维点评”中的方法2而AFEACE60则和题1使用同一个性质题3求证：三角形的三条高线交于一点满分证明设ABC的高线BE和CF交于H，连接AH交BC于点D，再连接EF，见图43(b)现证三条高交于一点，只需证ADBC即可，为此连接EF在四边形AFHE中，因AEHAFH180，则A、F、H、E四点共圆，所以AHEAFE 同理，B、C、E、F四点共圆，所以AEFABC，AFEBCE 由和得AHEBCE，所以C、E、H、D四点共圆，则HDCHEC180 又HEC90，所以HDC90，即ADBC，所以ABC的三条高线交于一点技巧贴士本题反复用到四点共圆的性质另外，三条高线
5、交于一点的证明还可参见8年级专题4及本书专题2的其他证法 至于由AEHAFH180，得到A、F、H、E四点共圆的结论，其使用的方法是题12后的“思维点评”中的方法3，而B、C、E、F四点共圆则使用了方法2，有了AHEBCE，得到C、E、H、D四点共圆，则又是使用了方法3，最后判定HDC90则使用了性质(2)，即圆内接四边形的对角互补题4如图44(a)所示，在直角坐标系中，ABCD的边BC在y轴上，顶点A在x轴上，OAOB，点D的坐标为（，1），以AB为直径的圆P交AC于点Q (1)求A、B、C三点的坐标 (2)求ACB的度数和OQ的长(3)求CO、OQ与所围的阴影部分的面积满分解答(1)易证A
6、、B、C三点的坐标分别为A（，0），B(0，)，C（0，1）技巧贴士这是一道几何运算题，由于图形放置于直角坐标系中，因此可以充分利用坐标来进行解答由四边形ABCD是平行四边形可知其对边相等，而点D的纵坐标为1，因此BC的长度也应该是1而点D的横坐标为，且OAOB，因此OB的长也是，于是OC长应是1由此可推得A、B、C三点的坐标显然也可求得ACB，而OQ的长则可通过COQCAB求得，阴影部分的面积则可通过SCOQ与弓形面积的差求出 第(2)问中用到了O、Q、A、B四点共圆的性质，即四边形的一个外角等于这个内角所对的角，在图44(b)中，可表示为CQOB，这是证明COQCAB的关键另外，求几何图形
7、的阴影部分的面积一般有两大类：一类是阴影部分是规则图形，直接用公式代入；另一类是不能直接用公式计算的，我们称它为复合图形，这时必须分清它是由哪几种规则图形经过组合而成的，然后分别计算，最后再组合起来本题就是采用复合图形计算方法来求解的（关于不规则图形面积的计算将在专题6的题16中提及，本专题的题13、题14也将涉及这部分内容）题5如图45所示，AB是O的直径，AC切O于点A，且ACAB，CO交O于点P，CO的延长线交O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF 求证：(1) AFBE (2)ACPFCA (3)CPAE满分解答 (1)由AB是直径，得BPA90，同理因PAF90，进而有B
8、PAPAF180，所以AFBE (2)因为AC切O于点A，所以CAPAFC(或由弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角知CAPAFC)，而C是公共角，所以ACPFCA (3)由AFBE，得CPEAFC，所以CPECAP，结合C是公共角，有CPECAP，所以，再由AB是直径，知BPA90，易证AEPBAP，所以，又因为ABAC，所以，即CPAE技巧贴士本题中涉及的性质不少通过本题，除了了解其中的定理、性质，更要对题目的结构有所总结一般情况下，前几问都会为后几问作铺垫，例如本题中，有了AFBE，自然联想到许多角度相等，这为等量代换提供了依据；而ACPFCA，则暗示了后面一小问的立足点仍旧是相似三角形，并
9、且要从“二次相似”入手，寻找CPAE各自所在的三角形，前者自然在CPE、ACP中，后者则更典型，如果结合之前直角的结论，AE显然存在于“射影定理”中 现在既要有CPAE，又要有CPE，ACP，自然所有的焦点都集中在CPE，ACP，发现C是公共角，有了一个角，联想到之前的结论，问题还是需要集中在“角”和“相似三角形”上，所以用等量代换，得到CPECAP，接着将表达出CP所在的式子，发现，这个式子已经很好地说明了“射影定理”的存在，所以自然将作为等量代换，“二次相似”就可以了题6如图46(a)所示，直线MN和O切于点C，AB是O的直径，AEMN、BFMN，且BF与O交于点G，垂足分别为E、F，AC
10、是弦 (1)求证：AC平分BAE (2)求证：ABAEBF (3)求证：EF24AEBF (4)如果O的半径为5，AC6，试写出以AE、BF的长为根的一元二次方程满分证明(1)如图46(b)所示，连接BC，则ACB90，ACEABC由EAC90ACE，BAC90ABC，知EACBAC，即AC平分BAE (2)如图46(c)所示连接OC，则OCMN因为AEMN，BFMN，所以AEOCBF在梯形AEFB中，O为AB的中点，所以OC为梯形的中位线，于是有AEBF2OCAB (3)在RtAEC和RtBCF中，因为EACACE90，而BCFACE180ACB1809090，所以EACBCF，RtAECR
11、tCFB，即AEBFECFC， 而ECFCEF，所以EF24AEBF (4)因为RtAECRtABC，所以AC2AEAB， 又因为AB10，AC6，所以AE3.6 同理可得BF6.4，AEBF10，AEBF23.04 所以以AE、BF的长为根的一元二次方程为x210x23.040技巧贴士第(1)问中，重点是判断EACBAC，由弦切角的定理（同弧或等弧上的弦切角与圆周角相等）便可得到 第(2)问比较容易入手，由C为切点可联系到OCMN，再由梯形中位线定理得到证明 第(3)问可以通过倒推法，从所要证明的结论入手，EF24AEBF可以变形为AEBF再由ECFCEF，得到AEBFECFC，很容易想到证
12、明所含边的两组三角形相似 注意，对于本题的图形结构，还有以下结论 (1)EACBAC，BCFCAB (2)AC平分BAE，CB平分ABF (3)CBGCAG，CBACGA(4)EOF是等腰三角形，题7如图47(a)所示，O1和O2交于D、E，A在O1上，AD、AE分别交O2于B、C求证：AO1BC满分解答如图47(b)所示，连接DE，得ADEC 设AO1交O1于F，由于同圆中同一条弦所对的同侧的圆周角相等，所以AFEADE 又AFEFAE90，所以EAFC90，即AO1BC技巧贴士要证两直线垂直，只要证这两条直线与斜边的两夹角的和等于90即可，而AOi所在直线存在直径，通过直径马上联想到直径所
13、对的圆周角等于90，两次出现了90，通过“圆的内接四边形的一个外角等于内对角”进行等量代换，使得EAFC90，即可得证还要提醒一下，O1O2垂直且平分DE这个性质十分重要，后面的题直接用到该结论，这个性质实质是“垂径定理”，所以，我们经常作的辅助线就是连接公共弦题8若半径分别为6cm和5cm的两圆相交，且公共弦长6cm，则O1和O2的圆心距为_满分解答由垂径定理得AHAB3，所以由勾股定理得O1H4cm 同理可得O2H3cm，所以O1O2O2HO1H（34）cm或O1O2O2HO1H(34)cm 综上所述，两圆的圆心距为（34）cm技巧贴士本题分“弦固定”，“两圆相交”两种情况，利用“垂径定理”计算 事实上，本题如果只计算出O1O2O2HO1H，马上便可以得到O1O2O2HO1H，具体解释参考专题6的题1、题2本专题中的题26也属于这种分类讨论的情况题9如图49(a)所示，已知ABC是O的内接三角形，ADBC于点D，且AC5，DC3，AB4，则O的直径等于_ 满分解答过点A作圆的直径AE，交O于点E，再连接BE，见图49(b)在RtADC中，根据勾股定理，得AD4又
