机械制图第4章截切体与相贯体的投影

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1、1第 4 章 截 切 体 与 相 贯 体 的 投 影前 面 提 到 ： 各 种 形 状 的 机 件 虽 然 复 杂 多 样 ， 但 都 是 由 一 些 简 单 的 基 本 体 经 过 叠 加 、切 割 或 相 交 等 形 式 组 合 而 成 的 。 那 么 ， 基 本 体 被 平 面 截 切 后 的 剩 余 部 分 ， 就 称 为 截 切体 。 两 基 本 体 相 交 后 得 到 的 立 体 ， 就 叫 相 贯 体 。 它 们 由 于 被 截 切 或 相 交 ， 会 在 表 面 上产 生 相 应 的 截 交 线 或 相 贯 线 。 了 解 它 们 的 性 质 及 投 影 画 法 ， 将 有 助

2、 于 我 们 对 机 件 形 状结 构 的 正 确 分 析 与 表 达 。4 1 截 切 体4 1 1 截 切 体 的 有 关 概 念 及 性 质如 图 4-1 示 ， 正 六 棱 柱 被 平 面 截 为 两 部 分 ， 其 中 用 来 截 切 立 体 的 平 面 称 为 截 平面 ； 立 体 被 截 切 后 的 部 分 称 为 截 切 体 ； 立 体 被 截 切 后 的 断 面 称 为 截 断 面 ； 截 平 面 与 立体 表 面 的 交 线 称 为 截 交 线 。图 4-1 立 体 的 截 交 线尽 管 立 体 的 形 状 不 尽 相 同 ， 分 为 平 面 立 体 和 曲 面 立 体 ，

3、 截 平 面 与 立 体 表 面 的 相 对位 置 也 各 不 相 同 ， 由 此 产 生 的 截 交 线 的 形 状 也 千 差 万 别 ， 但 所 有 的 截 交 线 都 具 有 以 下基 本 性 质 ：1 共 有 性 截 交 线 是 截 平 面 与 立 体 表 面 的 共 有 线 ， 既 在 截 平 面 上 ， 又 在 立 体 表 面上 ， 是 截 平 面 与 立 体 表 面 共 有 点 的 集 合 。2 封 闭 性 由 于 立 体 表 面 是 有 范 围 的 ， 所 以 截 交 线 一 般 是 封 闭 的 平 面 图 形 （ 平 面多 边 形 或 曲 线 ） 。根 据 截 交 线 的

4、性 质 ， 求 截 交 线 ， 就 是 求 出 截 平 面 与 立 体 表 面 的 一 系 列 共 有 点 ， 然后 依 次 连 接 即 可 。 求 截 交 线 的 方 法 ， 即 可 利 用 投 影 的 积 聚 性 直 接 作 图 ， 也 可 通 过 作 辅助 线 的 方 法 求 出 。4 1 2 平 面 截 切 体由 平 面 立 体 截 切 得 到 的 截 切 体 ， 叫 平 面 截 切 体 。2因 为 平 面 立 体 的 表 面 由 若 干 平 面 围 成 ， 所 以 平 面 与 平 面 立 体 相 交 时 的 截 交 线 是 一个 封 闭 的 平 面 多 边 形 ， 多 边 形 的 顶

5、 点 是 平 面 立 体 的 棱 线 与 截 平 面 的 交 点 ， 多 边 形 的 每条 边 是 平 面 立 体 的 棱 面 与 截 平 面 的 交 线 。 因 此 求 作 平 面 立 体 上 的 截 交 线 ， 可 以 归 纳 为两 种 方 法 ：（ 1） 交 点 法 ： 即 先 求 出 平 面 立 体 的 各 棱 线 与 截 平 面 的 交 点 ， 然 后 将 各 点 依 次 连 接起 来 ， 即 得 截 交 线 。连 接 各 交 点 有 一 定 的 原 则 ： 只 有 两 点 在 同 一 个 表 面 上 时 才 能 连 接 ， 可 见 棱 面 上 的两 点 用 实 线 连 接 ， 不

6、可 见 棱 面 上 的 两 点 用 虚 线 连 接 。（ 2） 交 线 法 ： 即 求 出 平 面 立 体 的 各 表 面 与 截 平 面 的 交 线 。一 般 常 用 交 点 法 求 截 交 线 的 投 影 。 两 种 方 法 不 分 先 后 ， 可 配 合 运 用 。求 平 面 立 体 截 交 线 的 投 影 时 ， 要 先 分 析 平 面 立 体 在 未 截 割 前 的 形 状 是 怎 样 的 ， 它是 怎 样 被 截 割 的 ， 以 及 截 交 线 有 何 特 点 等 ， 然 后 再 进 行 作 图 。具 体 应 用 时 通 常 利 用 投 影 的 积 聚 性 辅 助 作 图 。1 棱

7、 柱 上 的 截 交 线【 例 4-1】 如 图 4-2a 所 示 ， 求 作 五 棱 柱 被 正 垂 面 Pv 截 断 后 的 投 影 。解 ：（ 1） 分 析截 平 面 与 五 棱 柱 的 五 个 侧 棱 面 均 相 交 ， 与 顶 面 不 相 交 ， 故 截 交 线 为 五 边 形ABCDE。（ 2） 作 图 ， 如 图 4-2a 所 示1） 由 于 截 平 面 为 正 垂 面 ， 故 截 交 线 的 V 面 投 影 a b c d e 已 知 ； 于 是 截 交线 的 H 面 投 影 abcde 亦 确 定 ；2） 运 用 交 点 法 ， 依 据 “主 左 视 图 高 平 齐 ”的 投

8、 影 关 系 ， 作 出 截 交 线 的 W 面 投 影a b c d e ；3） 五 棱 柱 截 去 左 上 角 ， 截 交 线 的 H 和 W 投 影 均 可 见 。 截 去 的 部 分 ， 棱 线 不 再 画 出 ，但 有 侧 棱 线 未 被 截 去 的 一 段 ， 在 W 投 影 中 应 画 为 虚 线 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-2b 所 示 。3abcdeabcdeab cd ePva) b)图 4-2 作 五 棱 柱 的 截 交 线2 棱 锥 上 的 截 交 线【 例 4-2】 求 作 正 垂 面 P 截 割 四 棱 锥

9、S-ABC 所 得 的 截 交 线 。 见 图 4-3a。解 ：（ 1） 分 析1） 截 平 面 P 与 四 棱 锥 的 四 个 棱 面 都 相 交 ， 截 交 线 是 一 个 四 边 形 ；2） 截 平 面 P 是 一 个 正 垂 面 ， 其 正 面 投 影 具 有 积 聚 性 ；3） 截 交 线 的 正 面 投 影 与 截 平 面 的 正 面 投 影 重 合 ， 即 截 交 线 的 正 面 投 影 已 确 定 ， 只需 求 出 水 平 投 影 。（ 2） 作 图 , 如 图 4-3a 所 示1） 因 为 PV 具 有 积 聚 性 ， 所 以 PV 与 s a 、 s b 、 s c 和 s

10、 d 的 交 点1 、 2 、 3 和 4 即 为 空 间 点 、 、 和 的 正 面 投 影 ；2)利 用 从 属 关 系 ， 向 下 引 铅 垂 线 求 出 相 应 的 点 1、 2、 3 和 4；3)四 边 形 1234 为 截 交 线 的 水 平 投 影 。 线 段 1 2 3 4 为 截 交 线 的 正 面 投 影 。各 投 影 均 可 见 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-3b 所 示 。4S SS12342(1) 3(4)Pv 341 2ab cda(d) b(c)b(a) c(d)a) b)图 4-3 正 垂 面 P 与 四

11、棱 锥 S-ABCD 的 截 交 线【 例 4-3】 如 图 4-4a 所 示 ， 求 作 铅 垂 面 Q 截 割 正 三 棱 锥 S-ABC 所 得 的 截 交 线 。解 ：（ 1） 分 析1） 截 平 面 Q 与 正 三 棱 锥 的 三 个 棱 面 、 一 个 底 面 都 相 交 ， 截 交 线 是 一 个 四 边 形 ；2） 截 平 面 Q 是 一 个 铅 垂 面 ， 其 水 平 投 影 具 有 积 聚 性 ；3） 截 交 线 的 水 平 投 影 与 截 平 面 的 水 平 投 影 重 合 ， 即 截 交 线 的 水 平 投 影 已 确 定 ， 只需 求出 正 面 投 影 。（ 2） 作

12、 图 ,如 图 4-4a 所 示1） 因 为 QH 具 有 积 聚 性 ， 所 以 QH 与 ac、 sa、 sb、 和 bc 的 交 点 1、 2、 3 和 4 即 为空 间 点 、 、 和 的 水 平 投 影 。2） 利 用 从 属 关 系 ， 向 上 引 铅 垂 线 求 出 相 应 的 点 1 、 2 、 3 和 4 。3） 连 接 1 2 3 4 ， 四 边 形 1 2 3 4 为 截 交 线 的 正 面 投 影 ， 线 段 1 2不 可 见 ， 画 成 虚 线 ， 线 段 1234 为 截 交 线 的 水 平 投 影 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全

13、图 ， 如 图 4-4b 所 示 。以 上 两 题 都 是 利 用 截 平 面 投 影 的 积 聚 性 作 图 。5S Sabca cbs a(c) b1234123 4 1234Qha) b)图 4-4 铅 垂 面 QH 与 正 三 棱 锥 S-ABC 的 截 交 线3 带 缺 口 的 平 面 立 体 的 投 影绘 制 带 缺 口 的 立 体 的 投 影 图 ， 在 工 程 制 图 中 经 常 出 现 ， 这 种 制 图 的 实 质 仍 然 是 求平 面 截 交 立 体 的 问 题 。【 例 4-4】 如 图 4-5a 所 示 ， 已 知 带 有 缺 口 的 正 六 棱 柱 的 V 面 投

14、影 ， 求 其 H 面 和W 面 投 影 。解 ：（ 1） 分 析1） 从 给 出 的 V 面 投 影 可 知 ， 正 六 棱 柱 的 缺 口 是 由 两 个 侧 平 面 和 一 个 水 平 面 截 割正 六 棱 柱 而 形 成 的 。 只 要 分 别 求 出 三 个 平 面 与 正 六 棱 柱 的 截 交 线 以 及 三 个 截 平 面 之 间的 交 线 即 可 。2） 这 些 交 线 的 端 点 的 正 面 投 影 为 已 知 ， 只 需 补 出 其 余 投 影 。3） 、 、 、 四 点 是 左 边 的 侧 平 面 与 立 体 相 交 得 到 的 点 ， 、 、 、 是右 边 的 侧 平

15、 面 与 立 体 相 交 得 到 的 点 ， 、 两 点 为 前 后 棱 线 与 水 平 面 相 交 得 到 上 的 点 ，其 中 直 线 、 和 、 又 分 别 是 左 右 两 侧 平 面 与 水 平 面 相 交 所 得 的 交 线 。（ 2） 作 图 ,如 图 4-5a 所 示1） 利 用 棱 柱 各 侧 棱 面 的 积 聚 性 、 点 与 直 线 的 从 属 性 及 “主 左 视 图 高 平 齐 ”的 投 影关 系 依 次 作 出 各 点 的 三 面 投 影 。2） 连 接 各 点 。 将 在 同 一 棱 面 又 在 同 一 截 平 面 上 的 相 邻 点 的 同 面 投 影 相 连 。3） 判 别 可 见 性 。 只 有 7 8 、 9 10 交 线 不 可 见 ， 画 成 虚 线 。(3） 检 查 、 整 理 、 描 深 图 线 ， 完 成 全 图 ， 如 图 4-5b 所 示 。61(2)3(4)565(6)7(8) 9(10)1(7) 3(9)2(8)6 51(3)2(4)8(10)7(9)4(10)a) b)图 4-5 带 缺 口 的 正 六 棱 柱 的 投 影4 1 3 曲 面 截 切 体由 曲 面 立 体 截 切 得 到 的 截 切 体 ， 叫 曲 面 截 切 体 。平 面 与 曲 面 立 体 相 交 ， 所 得 的 截 交 线 一 般 为 封