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1、计算机基础知识:第二章计算机中的信息表示 1第二章 计算机中的信息表示2.1 进位计数制2.1.1 数制的概念什么是数制？数制是用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数目的方法。按照进位方式计数的数制叫进位计数制。十进制即逢十进一，生活中也常常遇到其它进制，如六十进制（每分钟 60 秒、每小时 60 分钟，即逢 60 进 1） ，十二进制，十六进制等。任何进制都有它生存的原因。人类的屈指计数沿袭至今，由于日常生活中大都采用十进制计数，因此对十进制最习惯。如十二进制，十二的可分解的因子多（12，6，4，3，2，1） ，商业中不少包装计量单位“一打” ；如十六进制，十六可被平分的次数较多（16，8
2、，4，2，1） ，即使现代在某些场合如中药、金器的计量单位还在沿用这种计数方法。进位计数涉及基数与各数位的位权。十进制计数的特点是“逢十进一” ，在一个十进制数中，需要用到十个数字符号 0-9，其基数为 10，即十进制数中的每一位是这十个数字符号之一。在任何进制中，一个数的每个位置都有一个权值。2.1.2 基数基数是指该进制中允许选用的基本数码的个数。每一种进制都有固定数目的计数符号。十进制：基数为 10，10 个记数符号，0、1、2、9。 每一个数码符号根据它在这个数中所在的位置(数位)，按“逢十进一”来决定其实际数值。二进制：基数为 2，2 个记数符号，0 和 1。每个数码符号根据它在这个
3、数中的数位，按“逢二进一”来决定其实际数值。八进制：基数为 8，8 个记数符号，0、1、2、7。每个数码符号根据它在这个数中的数位，按“逢八进一”来决定其实际的数值。十六进制：基数为 16，16 个记数符号，0-9，A ，B ，C，D，E，F。其中 AF 对应十进制的 1015。每个数码符号根据它在这个数中的数位，按“逢十六进一”决定其实际的数值。计算机基础知识:第二章计算机中的信息表示 22.1.3 位权一个数码处在不同位置上所代表的值不同，如数字 6 在十位数位置上表示 60，在百位数上表示 600，而在小数点后 1 位表示 0.6，可见每个数码所表示的数值等于该数码乘以一个与数码所在位置
4、相关的常数，这个常数叫做位权。位权的大小是以基数为底、数码所在位置的序号为指数的整数次幂。十进制的个位数位置的位权是 100，十位数位置上的位权为 101，小数点后 1 位的位权为 10-1 。十进制数 34958.34 的值为：（34958.34）10=3104+4103+9 102+5101+8100+310-1+410-2小数点左边：从右向左，每一位对应权值分别为 100、101、102、103、104小数点右边：从左向右，每一位对应的权值分别为 10-1、10-2二进制数 (100101.01)2=125+024+023+122+021+120+02-1+12-2小数点左边：从右向左，
5、每一位对应的权值分别为 20、21、22、23、24小数点右边：从左向右，每一位对应的权值分别为 2-1、2-2不同的进制由于其进位的基数不同权值是不同的。小结：位置计数法一般而言，对于任意的 R 进制数an-1an-2 a1a0a-1a-m (其中 n 为整数位数,m 为小数位数)可以表示为以下和式:an-1 Rn-1+an-2Rn-2+a1R1+a0R0+a-1R-1+a-mR-m (其中 R 为基数)2. 2 二进制代码和二进制数码2.2.1 二进制的特点在计算机中为什么要采用二进制？原因如下：l 可行性采用二进制，只有和两个状态，需要表示、两种状态的电子器件很多，如开关的接通和断开，晶
6、体管的导通和截止、磁元件的正负剩磁、电位电平的低与高等都可表示、两个数码。使用二进制，电子器件具有实现的可行性。l 简易性二进制数的运算法则少，运算简单，使计算机运算器的硬件结构大大简化（十进制的乘法九九口诀表条公式，而二进制乘法只有条规则） 。l 逻辑性由于二进制和正好和逻辑代数的假（false）和真（ true）相对应，有逻辑代数的理论基础，用二进制表示二值逻辑很自然。2.2.2 二进制代码和二进制数码我们从二进制代码和二进制数码开始讲述计算机基础知识，是因为二进制代码和二进制数码是计算机信息表示和信息处理的基础。代码是事先约定好的信息表示的形式。二进制代码是把 0 和 l 两个符号按不同
7、顺序排列起来的一串符号。二进制数码有两个基本特征：用 0、l 两个不同的符号组成的符号串表示数量；相邻两个符号之间遵循“逢 2 进 l”的原则，即左边的一位所代表的数目是右边紧邻同一符号所代表的数目的 2 倍。二进制代码和二进制数码是既有联系又有区别的两个概念：凡是用 0 和 1 两种符号表示信息的代码统称为二进制代码(或二值代码) ；用 0 和 1 两种符号表示数量并且整个符号串各位均符合“逢 2 进 1”原则的二进制代码，称为二进制数码。目前的计算机在内部几乎毫无例外地使用二进制代码或二进制数码来表示信息，是由于以二进制代码为基础设计、制造计算机，可以做到速度快、元件少，既经济又可靠。虽然
8、计算机从使用者看来处理的是十进制数，但在计算机内部仍然是以二进制数码为操作的对象的处理, 理解它的内部形式是必要的。在计算机中数据的最小单位是 1 位二进制代码，简称为位(bit)。8 个连续的 bit 称为一个字节(byte)。计算机基础知识:第二章计算机中的信息表示 3.2.3 数的二进制表示和二进制运算1. 数的二进制表示客观世界中，事物的数量是一个客观存在，但表示的方法可以多种多样。例 2-1 345 用十进制数码可以表示为 (345)10=3102 十 4101 十 5100这里每个固定位置上的计数单位称为位权。十进制计数中个位上的计数单位为1001，从个位向左，依次为 101，10
9、2，103，；向右依次为 10-1，102，。用二进制数码可以表示为:(101011001)2 l28+027+126+025+l24+123+022+021+l20 256+0+64+0+16+8+0+0+ l=（345）10二进制计数中个位上的计数单位也是 1，即 20l，个位向左依次为 21，22，23，；向右依次为 2-1，2-2，。2计算机中的算术运算二进制数的算术运算与十进制的算术运算类似, 但其运算规则更为简单，其规则见表2-1。表 2-l 二进制数的运算规则加 法乘 法减 法除 法0+0=00+1=11+0=11+1=10(逢二进一)00=001=010=011=10-0=01
10、-0=11-1=00-1=1(借一当二)00=001=010=(没有意义)11=1二进制数的加法运算例：二进制数 1001 与 1011 相加算式: 被加数 （1001 ）2 （9）10加数 （1011）2 （11）10进位 +） 1 11和数 （10100）2结果：（1001）2 +（1011）2=（10100）2由算式可以看出，两个二进制数相加时，每一位最多有 3 个数（本位被加数、加数和来自低位的进位）相加，按二进制数的加法运算法则得到本位相加的和及向高位的进位。二进制数的减法运算例：二进制数 11000001 与 00101101 相减算式： 被减数 （11000001）2 （193）
11、10减数 （00101101）2 （45）10借位 ） 1111差数 （10010100）2 （148）10结果：（11000001）2 （11000001）2 =（10010100）2由算式可以看出，两个二进制数相减时，每一位最多有 3 个数（本位被减数、减数和向高位的借位）相减，按二进制数的减法运算法则得到本位相减的差数和向高位的借位。3. 计算机中的逻辑运算计算机中的逻辑关系是一种二值逻辑，逻辑运算的结果只有“真”或“假”两个值。二值逻辑很容易用二进制的“0”和“1”来表示，一般用“1”表示真，用“0”表示假。逻辑值的每一位表示一个逻辑值，逻辑运算是按对应位进行的，每位之间相互独立，不存
12、在进位和借位关系，运算结果也是逻辑值。计算机基础知识:第二章计算机中的信息表示 4三种基本的逻辑运算逻辑运算有“或” 、 “与”和“非”三种。其它复杂的逻辑关系都可以由这三个基本逻辑关系组合而成。（1）逻辑“或” 。用于表示逻辑“或”关系的运算， “或”运算符可用+，OR，或表示。逻辑“或”的运算规则如下：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1即两个逻辑位进行“或”运算，只要有一个为“真” ，逻辑运算的结果为“真” 。例：如果 A=1001111，B=（1011101） ；求 A+B步骤如下: 1001111+ 10111011011111结果：A+B=1001111+1011101=
13、1011111（2）逻辑“与” 。用于表示逻辑与关系的运算，称为“与”运算,与运算符可用AND，,或表示。逻辑“与”的运算规则如下：00=0 01=0 10=0 11=1即两个逻辑位进行“与”运算，只要有一个为“假” ，逻辑运算的结果为“假” 。例：如果 A=1001111，B=（1011101） ，求 AB步骤如下： 1001111 10111011001101结果： AB=1001111101101=1001101（3）逻辑“非” 。用于表示逻辑非关系的运算，该运算常在逻辑变量上加一横线表示。逻辑“非”的运算规则： =0 =1 即对逻辑位求反。2.3 不同数制间的转换不同数制间的转换采用基
14、数乘除法基数乘除方法假设将十进制数转换为 R 进制数：整数部分和小数部分须分别遵守不同的转换规则：对整数部分：除以 R 取余法，即整数部分不断除以 R 取余数，直到商为 0 为止，最先得到的余数为最低位，最后得到的余数为最高位。对小数部分：乘 R 取整法，即小数部分不断乘以 R 取整数，直到小数为 0 或达到有效精度为止，最先得到的整数为最高位（最靠近小数点） ，最后得到的整数为最低位。2.3.1 十进制数转换为二进制数十进制转换数成二进制数,基数为，故对整数部分，除取余，对小数部分乘取整。为了将一个既有整数部分又有小数部分的十进制数转换成二进制数，可以将其整数部分和小数部分分别转换，然后再组
15、合。例 2-2 将(35.25)10 转换成二进制数整数部分：222222235 取余数 低17110001 高84210注意：第一次得到的余数是二进制数的最低位，最后一次得到的余数是二进制数的最高位。也可用如下方式计算:商 ： 0 1 2 4 8 17 352余数 1 1 0 0 0 1小数部分：0.25 2取整数 高00.50 21. 00 1 低注意：一个十进制小数不一定能完全准确地转换成二进制小数，这时可以根据精度要求只转换到小数点后某一位为止即可。将其整数部分和小数部分分别转换，然后组合起来得(35.25)10=(100011.01)2计算机基础知识:第二章计算机中的信息表示 52.3.2 十进制数转换为八进制数八进制数码八进制数码的基本特征是：用 8 个不同符号 0，1，2，3，4，5，6，7 组成的符号串表示数量，相邻两个符号之间遵循“逢 8 进 1”原则，也就是说各位上的位权是基数 8 的若干次幂。例 2-3 将十进制数（1725.32）10 转换成八进制数(转
