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1、第 1 章时域离散信号和时域离散系统1.1.2 重要公式（1） mnhxxny)(*)()(这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在之间对 m 求和。 如果公式中 x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。 （2）x(n)=x(n)* (n)该式说明任何序列与 (n)的线性卷积等于原序列。x(nn0)=x(n)* (nn0)（3）kankXTX)j(1)j( s这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上， 才能得到不失真的采样信号。naa Tntx
2、tx/)(si)(这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。1.2解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。 解线性卷积有三种方法， 即图解法（列表法） 、 解析法和在计算机上用 MATLAB 语言求解。 它们各有特点。 图解法（列表法）适合于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易得到封闭解。 解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。 解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于画图确定。第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积， 实验中常用。解线性卷积也可用 Z 变换法， 以及离
3、散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。 下面通过例题说明。设 x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)， 求 y(n)=x(n)*h(n)。该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法）或者解析法求解。 表1.2.1 给出了图解法（列表法） ， 用公式可表示为y(n)=, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 下面用解析法求解， 写出卷积公式为 mmnRnhxny )()()( 4在该例题中， R4(m)的非零区间为 0m 3， R4(nm)的非零区间为 0nm3， 或写成 n3mn，这样 y(n)的非零区间要求 m 同时满足下面两个不等式：0m3m3m
4、n上面公式表明 m 的取值和 n 的取值有关， 需要将 n 作分段的假设。 按照上式， 当 n 变化时， m 应该按下式取值： max0, n3 mmin3, n当 0n3 时，下限应该是 0，上限应该是 n； 当 4n6 时，下限应该是 n3，上限应该是 3；当 n6 时，上面的不等式不成立，因此 y(n)=0； 这样将 n 分成三种情况计算：（1） n6 时， y(n)=0（2） 0n3 时， nmy01)(（3） 4n6 时， n37将 y(n)写成一个表达式， 如下式： 其 它,071y()在封闭式求解过程中，有时候决定求和的上下限有些麻烦，可借助于非零值区间的示意图确定求和限。在该例
5、题中，非零值区间的示意图如图 1.2.1 所示。图 1.2.1(b)中，当 n0 时, 00m最后得到 )1(1)(uasn例 1.3.3设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应 h(n)和输入激励信号 x(n) 分别为j )(2j)(unhx(n)=cos(n)u(n)求系统的稳态响应 y(n)。解：x(n)=cos( n)u(n)=( 1)nu(n)2j1)( j)(j1 )(0nmnuxhy当 n时，稳态解为 j254)1(ny1.4习题与上机题解答1. 用单位脉冲序列 (n)及其加权和表示题 1 图所示的序列。题 1 图解：x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+ (n1
6、)+2(n2)+4(n 3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号： 其 它04615)(nnx(1) 画出 x(n)序列的波形， 标上各序列值；(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示 x(n)序列；(3) 令 x1(n)=2x(n2)，试画出 x1(n)波形；(4) 令 x2(n)=2x(n+2)，试画出 x2(n)波形；(5) 令 x3(n)=x(2n)，试画出 x3(n)波形。解：(1) x(n)序列的波形如题 2 解图（一）所示。(2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n 1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)（3）x 1(n)的波形
7、是 x(n)的波形右移 2 位，再乘以 2，画出图形如题 2 解图（二）所示。(4) x2(n)的波形是 x(n)的波形左移 2 位，再乘以 2，画出图形如题 2 解图（三）所示。(5) 画 x3(n)时，先画 x(n)的波形(即将 x(n)的波形以纵轴为中心翻转 180)，然后再右移 2 位， x3(n)波形如题 2 解图（四）所示。3判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。(1)常Anx 873cos)(2)1(je解：（1） 因为 = 73, 所以 3142, 这是有理数，因此是周期序列，周期 T=14。（2） 因为 = 81, 所以 2=16, 这是无理数， 因此是非周
8、期序列。4 对题 1 图给出的 x(n)要求：(1) 画出 x(n)的波形；(2) 计算 xe(n)=1/2x(n)+x(n) ， 并画出 xe(n)波形；(3) 计算 xo(n)=1/2x(n) x(n) ， 并画出 xo(n)波形; (4) 令 x1(n)=xe(n)+xo(n), 将 x1(n)与 x(n)进行比较， 你能得到什么结论？解：（1）x(n)的波形如题 4 解图（一）所示。(2) 将 x(n)与 x(n) 的波形对应相加，再除以 2，得到 xe(n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。x e(n)的波形如题 4 解图（二）所示。(3) 画出 xo(n)的波形如题 4 解图（三）所
9、示。(4) 很容易证明：x(n)=x 1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。5设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与 y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。（1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)（2）y(n)=2x(n)+3（3）y(n)=x(n n0) n0 为整常数（4）y(n)=x( n)（5）y(n)=x 2(n)（6）y(n)=x(n 2)（7）y(n)= nmx0(（8）y(n)=x(n)sin( n)解：（1 令输入为
10、x(nn 0)输出为:y(n)=x(nn 0)+2x(nn 01)+3x(nn 02)y(nn 0)=x(nn 0)+2x(nn01)+3(nn 02) =y(n)故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax 1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2ax 1(n1)+bx 2(n1) +3ax 1(n2)+bx 2(n2) Tax 1(n)=ax 1(n)+2ax1(n 1)+3ax1(n2)Tbx 2(n)=bx 2(n)+2bx2(n1)+3bx 2(n2)所以 Tax 1(n)+bx2(n)=aT x 1(n)+bTx 2(n)故该系统是线性系统。（2） 令输入为 x(n
11、n 0)输出为 y(n)=2x(n n0)+3y(nn 0)=2x(nn 0)+3=y(n)故该系统是非时变的。 由于Tax 1(n)+bx2(n)=2ax 1(n)+2bx2(n)+3Tax 1(n)=2ax 1(n)+3Tbx 2(n)=2bx 2(n)+3Tax 1(n)+bx2(n)aTx 1(n)+bTx 2(n)故该系统是非线性系统。(3) 这是一个延时器，延时器是线性非时变系统，下面证明。令输入为 x(nn 1)输出为: y(n)=x(nn 1n 0)y(nn 1)=x(nn 1n 0)=y(n)故延时器是非时变系统。 由于Tax 1(n)+bx2(n)=ax 1(nn 0)+b
12、x2(nn 0) =aTx 1(n)+bTx 2(n)故延时器是线性系统。(4) y(n)=x(n)令输入为： x(nn 0)输出为 y(n)=x( n+n 0)y(nn 0)=x(n+n 0)=y(n)因此系统是线性系统。 由于Tax 1(n)+bx2(n)=ax 1(n)+bx 2(n) =aTx 1(n)+bTx 2(n)因此系统是非时变系统。（5）y(n)=x 2(n)令输入为： x(nn 0)输出为： y(n)=x 2(nn0)y(nn 0)=x2(nn 0)=y(n)故系统是非时变系统。 由于T ax1(n)+bx2(n) = ax1(n)+bx2(n) 2 aT x1(n) +b
13、T x2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。（6）y(n)=x(n 2)令输入为： x(nn 0)输出为：y(n)=x(n n 0)2)y(nn 0)=x(nn 0)2)=y(n)故系统是非时变系统。 由于Tax 1(n)+bx2(n)=ax 1(n2)+bx2(n2) =aTx 1(n)+bTx 2(n)故系统是线性系统。（7） y(n)= nmx0)(令输入为 x(nn 0)输出为： y(n)= nm0x(m-n0)y(nn 0)=nx(m)y(n)故系统是时变系统。 由于Tax 1(n)+bx2(n)= nm0 ax1(m)+bx2(m)=aTx 1(n) +b
14、Tx 2(n)故系统是线性系统。（8） y(n)=x(n) sin(n)令输入为： x(nn 0)输出为： y(n)=x(n n 0) sin(n)y(nn 0)=x(nn 0) sin(nn 0)y(n)故系统不是非时变系统。 由于Tax 1(n)+bx2(n)=ax 1(n) sin(n)+bx 2(n) sin(n) =aTx 1(n)+bTx 2(n)故系统是线性系统。6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。（1） 10)()(Nknxy（2） y(n)=x(n)+x(n+1)（3）0)(nk（4） y(n)=x(nn 0)（5） y(n)=ex(n)
15、解：（1）只要 N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与 n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|M， 则 |y(n)|M， 因此系统是稳定系统。（2）该系统是非因果系统， 因为 n 时间的输出还和 n 时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则 |y(n)|x(n)|+|x(n+1)| 2M, 因此系统是稳定系统。（3）如果|x(n)|M， 则 kxyn|12|)(00， 因此系统是稳定的； 假设 n00， 系统是非因果的， 因为输出还和 x(n)的将来值有关。 （4）假设 n00， 系统是因果系统， 因为 n 时刻输出只和 n 时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)| M， 因此系统是稳定的。（5）系
